题目

44. (2.0分) 函数展开成幂级数 函数f(x)=(1)/(1+x^2)展开成x的幂级数为（）. A. sum_(n=0)^inftyx^2n.|x|<1 B. sum_(n=0)^inftyx^2n.|x|<2 C. sum_(n=0)^inftyx^2n.|x|<1 D. sum_(n=0)^infty(-1)^nx^2n.|x|<1.

44. (2.0分) 函数展开成幂级数 函数$f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$展开成x的幂级数为（）.
A. $\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}.|x|<1$
B. $\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}.|x|<2$
C. $\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}.|x|<1$
D. $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.|x|<1$.

题目解答

答案

为了将函数 $ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $ 展开成 $ x $ 的幂级数，我们可以使用已知的几何级数展开式。几何级数展开式 states: \[ \frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \quad \text{for} \quad |r| < 1 \] 对于 $ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $，我们可以将分母改写为 $ 1 - (-x^2) $。这样，我们就可以使用几何级数展开式，其中 $ r = -x^2 $。因此，我们有: \[ f(x) = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n \] 接下来，我们简化 $ (-x^2)^n $: \[ (-x^2)^n = (-1)^n (x^2)^n = (-1)^n x^{2n} \] 所以，函数 $ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $ 的幂级数展开式为: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \] 这个级数收敛的条件是 $ | -x^2 | < 1 $，即 $ |x^2| < 1 $。由于 $ |x^2| = |x|^2 $，因此收敛条件可以写为: \[ |x|^2 < 1 \quad \text{or} \quad |x| < 1 \] 综上所述，函数 $ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $ 展开成 $ x $ 的幂级数为: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \quad \text{for} \quad |x| < 1 \] 因此，正确答案是: \[ \boxed{D} \]

解析

考查要点：本题主要考查将函数展开为幂级数的方法，特别是利用几何级数展开式的变形能力，以及收敛域的确定。

解题核心思路：
将分母$1+x^2$改写为$1 - (-x^2)$，从而套用几何级数$\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$的形式，确定$r = -x^2$，进而展开并分析收敛域。

破题关键点：

  1. 识别几何级数结构：通过改写分母为$1 - (-x^2)$，将原函数转化为几何级数的标准形式。
  2. 符号处理：注意展开后每一项的符号为$(-1)^n$，而非单纯的$x^{2n}$。
  3. 收敛域推导：根据几何级数的收敛条件$|r| < 1$，代入$r = -x^2$后得到$|x| < 1$。

步骤1：改写分母为几何级数形式

将原函数改写为：
$f(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)}.$
此时，可视为几何级数$\frac{1}{1 - r}$的形式，其中$r = -x^2$。

步骤2：应用几何级数展开式

根据几何级数展开式$\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$（当$|r| < 1$时），代入$r = -x^2$得：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n.$

步骤3：化简展开式

将$(-x^2)^n$展开为$(-1)^n x^{2n}$，因此：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}.$

步骤4：确定收敛域

几何级数收敛的条件为$|r| = |-x^2| = |x^2| < 1$，即$|x| < 1$。

选项分析

  • 选项D正确，因为它包含$(-1)^n$且收敛域为$|x| < 1$。
  • 其余选项或缺少符号$(-1)^n$，或收敛域错误。