题目

一栋大楼有 5 个供水设备，调查表明在任意时刻每个设备被使用的概率是 0.1。求在同一时刻：(1) 恰有 2 个设备被使用的概率；(2) 至少有 1 个设备被使用的概率；(3) 至少有 3 个设备被使用的概率；(4) 至多有 3 个设备被使用的概率。

一栋大楼有 5 个供水设备，调查表明在任意时刻每个设备被使用的概率是 0.1。求在同一时刻： (1) 恰有 2 个设备被使用的概率； (2) 至少有 1 个设备被使用的概率； (3) 至少有 3 个设备被使用的概率； (4) 至多有 3 个设备被使用的概率。

题目解答

答案

我们来逐步解决这个概率问题。

题目分析

大楼有 5 个供水设备，每个设备在任意时刻被使用的概率是 0.1，且假设各个设备的使用是相互独立的。

这是一个典型的二项分布问题。

设随机变量 $ X $ 表示在同一时刻被使用的设备数量，则：

$X \sim B(n=5, p=0.1)$

即：
$P(X = k) = \binom{5}{k} (0.1)^k (0.9)^{5-k}, \quad k = 0,1,2,3,4,5$

我们接下来分别计算各个小题。

(1) 恰有 2 个设备被使用的概率

即求 $ P(X = 2) $

$P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.1)^2 (0.9)^3$

计算：

  • $ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $
  • $ (0.1)^2 = 0.01 $
  • $ (0.9)^3 = 0.729 $

所以：

$P(X=2) = 10 \times 0.01 \times 0.729 = 0.0729$

✅ 答案：(1) 0.0729

(2) 至少有 1 个设备被使用的概率

即求 $ P(X \geq 1) $

利用补事件更简单：

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$

计算 $ P(X = 0) $：

$P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times (0.9)^5$

计算 $ (0.9)^5 $：

$0.9^2 = 0.81 \\ 0.9^4 = (0.81)^2 = 0.6561 \\ 0.9^5 = 0.6561 \times 0.9 = 0.59049$

所以：

$P(X \geq 1) = 1 - 0.59049 = 0.40951$

✅ 答案：(2) 0.40951

(3) 至少有 3 个设备被使用的概率

即求 $ P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) $

我们分别计算：

计算 $ P(X=3) $

$P(X=3) = \binom{5}{3} (0.1)^3 (0.9)^2$

  • $ \binom{5}{3} = 10 $
  • $ (0.1)^3 = 0.001 $
  • $ (0.9)^2 = 0.81 $

$P(X=3) = 10 \times 0.001 \times 0.81 = 0.0081$

计算 $ P(X=4) $

$P(X=4) = \binom{5}{4} (0.1)^4 (0.9)^1 = 5 \times 0.0001 \times 0.9 = 0.00045$

计算 $ P(X=5) $

$P(X=5) = \binom{5}{5} (0.1)^5 (0.9)^0 = 1 \times 0.00001 \times 1 = 0.00001$

求和：

$P(X \geq 3) = 0.0081 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856$

✅ 答案：(3) 0.00856

(4) 至多有 3 个设备被使用的概率

即求 $ P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) $

我们已经计算了：

  • $ P(X=0) = 0.59049 $
  • $ P(X=1) = ? $
  • $ P(X=2) = 0.0729 $
  • $ P(X=3) = 0.0081 $

现在计算 $ P(X=1) $：

$P(X=1) = \binom{5}{1} (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561$

先算 $ 0.9^4 = 0.6561 $（前面已算）

$P(X=1) = 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$

现在求和：

$P(X \leq 3) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081$

逐步相加：

  • $ 0.59049 + 0.32805 = 0.91854 $
  • $ + 0.0729 = 0.99144 $
  • $ + 0.0081 = 0.99954 $

✅ 答案：(4) 0.99954

最终答案汇总

(1) 恰有 2 个设备被使用的概率：$\boxed{0.0729}$
(2) 至少有 1 个设备被使用的概率：$\boxed{0.40951}$
(3) 至少有 3 个设备被使用的概率：$\boxed{0.00856}$
(4) 至多有 3 个设备被使用的概率：$\boxed{0.99954}$

解析

本题考查二项分布的概率计算，关键是确定随机变量服从二项分布$X \sim B(n=5, p=0.1)$，并利用二项分布概率公式$P(X=k)=\binom{5}{k}(0.1)^k(0.9)^{5-k}$求解各问。

(1) 恰有2个设备被使用的概率

求$P(X=2)$：
$\begin{align*}P(X=2)&=\binom{5}{2}(0.1)^2(0.9)^3\\&=\frac{5!}{2!(5-2)!} \times 0.01 \times 0.729\\&=10 \times 0.01 \times 0.729\\&=0.0729\end{align*}$

(2) 至少有1个设备被使用的概率

利用补事件$P(X\geq1)=1-P(X=0)$：
$\begin{align*}P(X=0)&=\binom{5}{0}(0.1)^0(0.9)^5=1 \times 1 \times 0.59049=0.59049\\P(X\geq1)&=1-0.59049=0.40951\end{align*}$

(3) 至少有3个设备被使用的概率

$P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$：
$\begin{align*}P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.1)^3(0.9)^2=10 \times 0.001 \times 0.81=0.0081\\P(X=4)&=\binom{5}{4}(0.1)^4(0.9)^1=5 \times 0.0001 \times 0.9=0.00045\\P(X=5)&=\binom{5}{5}(0.1)^5(0.9)^0=1 \times 0.00001 \times 1=0.00001\\P(X\geq3)&=0.0081+0.00045+0.00001=0.00856\end{align*}$

(4) 至多有3个设备被使用的概率

$P(X\leq3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$：
$\begin{align*}P(X=1)&=\binom{5}{1}(0.1)^1(0.9)^4=5 \times 0.1 \times 0.6561=0.32805\\P(X\leq3)&=0.59049+0.32805+0.0729+0.0081=0.99954\end{align*}$