2. (10.0分) 设y=y(x)由int_(0)^xye^-t^(2)dt+1=sin3x+y所确定，求曲线y=y(x)在x=0对应点处的切线方程为( ).A. y=-x+1B. y=-4x+1C. y=-2x+1D. y=2x+1

考查要点：本题主要考查隐函数求导及切线方程的求解方法，涉及变上限积分的求导法则和莱布尼茨公式。

解题核心思路：

1. 确定切点坐标：将$x=0$代入原方程，直接计算对应的$y$值。
2. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，利用变上限积分的求导规则和链式法则，解出$\frac{dy}{dx}$在$x=0$处的值。
3. 构造切线方程：利用点斜式方程，结合切点坐标和导数值，写出切线方程。

破题关键点：

• 变上限积分求导：$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$，本题中下限为常数，只需考虑上限$xy$的导数。
• 代入特殊值简化计算：当$x=0$时，积分上限为$0$，积分结果为$0$，可快速确定$y$的值。

第1步：求$x=0$对应的$y$值

将$x=0$代入原方程：
$\int_{0}^{0 \cdot y} e^{-t^2} dt + 1 = \sin(3 \cdot 0) + y$
积分区间为$[0,0]$，结果为$0$，因此：
$0 + 1 = 0 + y \implies y = 1$
切点坐标为$(0,1)$。

第2步：对原方程两边关于$x$求导

原方程：
$\int_{0}^{xy} e^{-t^2} dt + 1 = \sin 3x + y$
对两边求导：

• 左边求导：根据变上限积分求导法则：
  $\frac{d}{dx} \int_{0}^{xy} e^{-t^2} dt = e^{-(xy)^2} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = e^{-(xy)^2} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$
  常数项$1$的导数为$0$，故左边导数为：
  $e^{-(xy)^2} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$
• 右边求导：
  $\frac{d}{dx} (\sin 3x + y) = 3 \cos 3x + \frac{dy}{dx}$

第3步：代入$x=0, y=1$求$\frac{dy}{dx}$

将$x=0, y=1$代入导数方程：
$e^{-(0 \cdot 1)^2} \cdot \left( 1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 3 \cos (3 \cdot 0) + \frac{dy}{dx}$
化简得：
$1 \cdot 1 = 3 \cdot 1 + \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = -2$
切线斜率为$-2$。

第4步：构造切线方程

利用点斜式：
$y - 1 = -2(x - 0) \implies y = -2x + 1$