下列函数中，(）是微分方程 y'' - 7y' + 12y = 0 的解.A. y = x^3；B. y = x^2；C. y = e^3x；D. y = e^2x.

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，特别是通过特征方程法确定解的结构。

解题核心思路：

1. 构造特征方程：将微分方程中的微分项替换为代数项，得到特征方程。
2. 求解特征根：解二次方程得到根的值，根据根的不同情况写出通解。
3. 验证选项：将选项代入通解形式或直接代入原方程验证是否成立。

破题关键点：

• 特征方程的正确构造是基础，需注意系数对应关系。
• 特征根的判别直接影响通解的形式，本题中为两个不同的实根，通解为对应指数函数的线性组合。
• 选项匹配时，只需判断选项是否属于通解中的特例形式（如某一项系数为1，另一项为0）。

步骤1：构造特征方程
将微分方程 $y'' - 7y' + 12y = 0$ 中的微分项替换为代数项，得到特征方程：
$r^2 - 7r + 12 = 0.$

步骤2：求解特征根
解方程 $r^2 - 7r + 12 = 0$，判别式 $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1$，根为：
$r = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}.$
因此，特征根为 $r_1 = 4$ 和 $r_2 = 3$。

步骤3：写出通解
根据两个不同的实根，通解为：
$y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x},$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

步骤4：验证选项

• 选项C：$y = e^{3x}$
  当 $C_1 = 1$，$C_2 = 0$ 时，属于通解形式，因此是方程的解。
• 选项D：$y = e^{2x}$
  指数项中的 $2$ 不是特征根，因此不属于通解形式，代入原方程不成立。
• 选项A、B：多项式函数无法满足特征方程的指数解结构，直接排除。