题目
伊索寓言“狼来了”的故事里，村民平时对放羊小孩的印象为：“小孩可信”的概率为0.8，“小孩不可信”的概率为0.2；若可信的小孩说谎的概率是0.1，不可信的小孩说谎的概率是0.5，求(1)这个放羊小孩说谎的概率是多少？(2)第一次村民上山打狼时发现狼没有来，说明这次小孩在说谎，问此时这个小孩可信的概率是(,,,,,,)A. 0.42，dfrac(4)(9)B. 0.08，44.44%C. 0.18，dfrac(4)(9)D. 0.43，dfrac(5)(9)
伊索寓言“狼来了”的故事里，村民平时对放羊小孩的印象为：“小孩可信”的概率为$0.8$，“小孩不可信”的概率为$0.2$；若可信的小孩说谎的概率是$0.1$，不可信的小孩说谎的概率是$0.5$，求$\left(1\right)$这个放羊小孩说谎的概率是多少？$\left(2\right)$第一次村民上山打狼时发现狼没有来，说明这次小孩在说谎，问此时这个小孩可信的概率是$\left(\,\,\,\,\,\,\right)$
A. 0.42，\dfrac{4}{9}
B. 0.08，44.44\%
C. 0.18，\dfrac{4}{9}
D. 0.43，\dfrac{5}{9}
题目解答
答案
C. 0.18，\dfrac{4}{9}
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为：放羊小孩说谎；事件B为：放羊小孩可信。
步骤 2：计算放羊小孩说谎的概率
根据全概率公式，放羊小孩说谎的概率是：
$P\left(A\right)=P\left(A\mid B\right)P\left(B\right)+P\left(A\mid \overline{B}\right)P\left(\overline{B}\right)$
其中，$P\left(A\mid B\right)$表示可信的小孩说谎的概率，$P\left(A\mid \overline{B}\right)$表示不可信的小孩说谎的概率，$P\left(B\right)$表示小孩可信的概率，$P\left(\overline{B}\right)$表示小孩不可信的概率。
步骤 3：计算小孩说谎时可信的概率
根据贝叶斯公式，小孩说谎时可信的概率为：
$P\left(B\mid A\right)=\dfrac{P\left(BA\right)}{P\left(A\right)}=\dfrac{P\left(A\mid B\right)P\left(B\right)}{P\left(A\right)}$
设事件A为：放羊小孩说谎；事件B为：放羊小孩可信。
步骤 2：计算放羊小孩说谎的概率
根据全概率公式，放羊小孩说谎的概率是：
$P\left(A\right)=P\left(A\mid B\right)P\left(B\right)+P\left(A\mid \overline{B}\right)P\left(\overline{B}\right)$
其中，$P\left(A\mid B\right)$表示可信的小孩说谎的概率，$P\left(A\mid \overline{B}\right)$表示不可信的小孩说谎的概率，$P\left(B\right)$表示小孩可信的概率，$P\left(\overline{B}\right)$表示小孩不可信的概率。
步骤 3：计算小孩说谎时可信的概率
根据贝叶斯公式，小孩说谎时可信的概率为：
$P\left(B\mid A\right)=\dfrac{P\left(BA\right)}{P\left(A\right)}=\dfrac{P\left(A\mid B\right)P\left(B\right)}{P\left(A\right)}$