题目
3. (25.0分) 已知 overrightarrow(F)=x^3overrightarrow(i)+y^3overrightarrow(j)+z^3overrightarrow(k),则在点(1,0,-1)处，divoverrightarrow(F)=( )A. 6B. 0C. sqrt(6)D. sqrt[3](2)
3. (25.0分) 已知 $\overrightarrow{F}=x^{3}\overrightarrow{i}+y^{3}\overrightarrow{j}+z^{3}\overrightarrow{k}$,则在点(1,0,-1)处，$div\overrightarrow{F}=( )$
A. 6
B. 0
C. $\sqrt{6}$
D. $\sqrt[3]{2}$
题目解答
答案
A. 6
解析
步骤 1：计算散度
向量场 $\overrightarrow{F} = x^3 \overrightarrow{i} + y^3 \overrightarrow{j} + z^3 \overrightarrow{k}$ 的散度为： \[ \text{div} \overrightarrow{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2) \]
步骤 2：代入点 (1, 0, -1)
在点 $(1, 0, -1)$ 处代入得： \[ \text{div} \overrightarrow{F} = 3(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 3 \times 2 = 6 \]
向量场 $\overrightarrow{F} = x^3 \overrightarrow{i} + y^3 \overrightarrow{j} + z^3 \overrightarrow{k}$ 的散度为： \[ \text{div} \overrightarrow{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2) \]
步骤 2：代入点 (1, 0, -1)
在点 $(1, 0, -1)$ 处代入得： \[ \text{div} \overrightarrow{F} = 3(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 3 \times 2 = 6 \]