1、单选 微分方程y^primeprime+2y^prime-3y=(x+1)e^x的特解形式可设为（）(3分)A. y^*=(ax+b)e^xB. y^*=x(ax+b)e^xC. y^*=x^2(ax+b)e^xD. y^*=x^3(ax+b)e^x

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定方法，涉及待定系数法的应用。

解题核心思路：

1. 求解齐次方程的特征根，确定通解形式；
2. 分析非齐次项的结构，判断其对应的指数函数是否与齐次解重复；
3. 根据重复根的重数，确定特解形式中需乘的幂次因子。

破题关键点：

• 齐次方程的特征根为 $r_1=1$ 和 $r_2=-3$，其中 $e^x$ 对应的特征根 $r=1$ 是单根；
• 非齐次项 $(x+1)e^x$ 中的 $e^x$ 与齐次解重复，需在特解中乘以 $x$ 的一次方。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为 $y'' + 2y' - 3y = 0$，其特征方程为：
$r^2 + 2r - 3 = 0$
解得特征根：
$r_1 = 1, \quad r_2 = -3$
因此，齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-3x}$

步骤2：分析非齐次项的结构

非齐次项为 $(x+1)e^x$，其中：

• 指数部分 $e^x$ 对应特征根 $r=1$；
• 多项式部分为一次多项式 $x+1$。

步骤3：确定特解形式

由于 $r=1$ 是齐次方程的单根，根据待定系数法，特解形式需乘以 $x^1$，即：
$y^* = x \cdot (ax + b) e^x$
其中 $(ax + b)$ 是与非齐次项中多项式次数相同的待定系数多项式。