设随机变量 X 的分布函数为 F(x) = a + b arctan x, (-infty < x < +infty).求 (1) a 与 b 的值；(2) P(-1 < X leq 1).
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x) = a + b \arctan x$, $(-\infty < x < +\infty)$. 求 (1) $a$ 与 $b$ 的值； (2) $P(-1 < X \leq 1)$.
题目解答
答案
我们来逐步解决这个题目。
题目回顾
设随机变量 $ X $ 的分布函数为：
$F(x) = a + b \arctan x, \quad (-\infty < x < +\infty)$
要求：
- 求常数 $ a $ 与 $ b $ 的值；
- 求概率 $ P(-1 < X \leq 1) $。
第一部分：求 $ a $ 与 $ b $ 的值
分布函数的性质
分布函数 $ F(x) $ 有如下性质：
- $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $
- $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $
我们利用这两个极限条件来解出 $ a $ 和 $ b $。
1. 当 $ x \to -\infty $ 时
$F(x) = a + b \arctan x$
由于 $ \arctan x \to -\frac{\pi}{2} $ 当 $ x \to -\infty $，所以：
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = a + b \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$
即：
$a - \frac{\pi}{2} b = 0 \tag{1}$
2. 当 $ x \to +\infty $ 时
$\lim_{x \to +\infty} F(x) = a + b \cdot \frac{\pi}{2} = 1$
即：
$a + \frac{\pi}{2} b = 1 \tag{2}$
联立 (1) 和 (2) 解方程
将 (1) 和 (2) 联立：
$\begin{cases}a - \frac{\pi}{2} b = 0 \\a + \frac{\pi}{2} b = 1\end{cases}$
相加两式：
$2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
代入 (1) 得：
$\frac{1}{2} - \frac{\pi}{2} b = 0 \Rightarrow b = \frac{1}{\pi}$
第一问答案：
$\boxed{a = \frac{1}{2},\quad b = \frac{1}{\pi}}$
第二部分：求 $ P(-1 < X \leq 1) $
我们知道：
$P(-1 < X \leq 1) = F(1) - F(-1)$
根据分布函数：
$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan x$
所以：
$F(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$F(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan(-1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
因此：
$P(-1 < X \leq 1) = F(1) - F(-1) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{1}{2}}$
最终答案总结
- $ a = \boxed{\frac{1}{2}},\quad b = \boxed{\frac{1}{\pi}} $
- $ P(-1 < X \leq 1) = \boxed{\frac{1}{2}} $
解析
考查要点：本题主要考查分布函数的性质及其应用，涉及连续型随机变量概率计算。
解题核心思路：
- 利用分布函数的极限性质确定参数$a$和$b$。根据分布函数在$x \to -\infty$时趋近于$0$，在$x \to +\infty$时趋近于$1$，建立方程组求解。
- 计算概率时，直接利用分布函数的差值公式$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$。
破题关键点：
- 分布函数的极限性质是求解参数的核心依据。
- 正确代入特殊值（如$x=1$和$x=-1$）计算概率。
第（1）题：求$a$与$b$的值
分布函数的极限性质
根据分布函数定义：
- 当$x \to -\infty$时，$\arctan x \to -\frac{\pi}{2}$，因此：
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = a + b \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad a - \frac{\pi}{2}b = 0 \tag{1}$ - 当$x \to +\infty$时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，因此：
$\lim_{x \to +\infty} F(x) = a + b \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a + \frac{\pi}{2}b = 1 \tag{2}$
联立方程求解
将方程(1)和(2)相加：
$(a - \frac{\pi}{2}b) + (a + \frac{\pi}{2}b) = 0 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}$
将$a = \frac{1}{2}$代入方程(1)：
$\frac{1}{2} - \frac{\pi}{2}b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{\pi}$
第（2）题：求$P(-1 < X \leq 1)$
分布函数的差值公式
$P(-1 < X \leq 1) = F(1) - F(-1)$
代入参数后的分布函数
由$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{1}{\pi}$，得：
$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan x$
计算$F(1)$和$F(-1)$
- $F(1)$：
$F(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ - $F(-1)$：
$F(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
求概率
$P(-1 < X \leq 1) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$