lim_({(x,y)to (0,0))} (xy^2)/(x^3 + y^3) = ( )A. 存在且等于0B. 存在且等于1C. 存在且等于2D. 不存在

本题考查二元函数极限是否存在的判断。解题思路是通过选取不同的路径趋近于点$(0,0)$，若沿不同路径得到的极限值不同，则该二元函数在该点的极限不存在。

下面我们选取两条不同的路径来计算极限：

• 路径一：沿$y = 0$趋近于$(0,0)$
  将$y = 0$代入函数$\frac{xy^2}{x^3 + y^3}$中，得到：
  $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^3 + y^3}=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot0^2}{x^3 + 0^3}=\lim_{x\to0}\frac{0}{x^3}=0$
• 路径二：沿$y = x$趋近于$(0,0)$
  将$y = x$代入函数$\frac{xy^2}{x^3 + y^3}$中，得到：
  $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^3 + y^3}=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot x^2}{x^3 + x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$

由于沿$y = 0$和$y = x$这两条不同路径趋近于$(0,0)$时，函数的极限值不同，分别为$0$和$\frac{1}{2}$，所以$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^3 + y^3}$不存在。