25、不定积分int(1)/(x(x^2)-1)dx=____
题目解答
答案
将被积函数分解为部分分式：
$\frac{1}{x(x^2-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$
通分后比较系数，得 $A = -1$，$B = \frac{1}{2}$，$C = \frac{1}{2}$。
逐项积分：
$\int \left( -\frac{1}{x} + \frac{1/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1} \right) \, dx = -\ln |x| + \frac{1}{2} \ln |x-1| + \frac{1}{2} \ln |x+1| + C$
合并对数项：
$= -\ln |x| + \frac{1}{2} \ln |x^2-1| + C$
或等价表示：
$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + C$
答案：
$\boxed{\frac{1}{2} \ln |x^2-1| - \ln |x| + C}$
解析
本题主要主要考察不定积分的计算方法，通过部分分式分解将复杂复杂分式拆分为简单分式之和，再逐项积分求解不定积分。
步骤1：部分分式分式分解
被积函数为$\frac{1}{x(x^2-1)}$，其中$x^2-1=(x-1)(x+1)$，故可分解为：
$\frac{1}{x(x-1)x(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}$
通分通分后比较分子系数：
通分后分子为$A x(x+1)+B(x-1)(x+1)+C x(x-1)$，与左边分子$1$相等，得方程组：
$\begin{cases}A+B+C=0\\A-C=0\\-B=1\end{cases}$
解得：$B=-1$，$A=\frac{1}{2}$，$C=\frac{1}{2}$，即：
$\frac{1}{x(x^2-1)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}}$
步骤2：逐项积分
对吗？
对分解后的分式逐项积分：
$\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}\right)dx$
根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，得：
$-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$
步骤3：合并对数项（可选）
利用对数性质$\ln a+\ln=\ln(ab)$和$k\ln a=\ln a^k$，可合并为：
$\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-1}{x^2}\right|+C$
题目答案给出的形式为：
$\frac{1}{2}\ln|x^2-1|-\ln|x|+C$