用事件 A, B, C 的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，B, C 都不出现；(2) A, B 都出现，C 不出现；(3) 三个事件都出现；(4) 三个事件中至少有一个出现；(5) 三个事件都不出现；(6) 不多于一个事件出现；(7) 不多于两个事件出现；(8) 三个事件中至少有两个出现。

我们用事件 $ A, B, C $ 的运算关系（如交、并、补）来表示下列各个事件。设样本空间为 $ \Omega $，事件 $ A, B, C $ 是其中的子集。记 $ A^c $ 表示事件 $ A $ 不发生（即补事件），同理 $ B^c, C^c $。

(1) A 出现，B, C 都不出现

• 要求：$ A $ 发生，且 $ B $ 不发生，且 $ C $ 不发生。
• 对应的运算表达式为：
  $A \cap B^c \cap C^c$

(2) A, B 都出现，C 不出现

• 要求：$ A $ 发生，$ B $ 发生，$ C $ 不发生。
• 表达式为：
  $A \cap B \cap C^c$

(3) 三个事件都出现

• 要求：$ A, B, C $ 同时发生。
• 表达式为：
  $A \cap B \cap C$

(4) 三个事件中至少有一个出现

• “至少有一个出现” 等价于 “$ A $ 或 $ B $ 或 $ C $ 发生”。
• 表达式为：
  $A \cup B \cup C$

(5) 三个事件都不出现

• 即 $ A $ 不发生，$ B $ 不发生，$ C $ 不发生。
• 表达式为：
  $A^c \cap B^c \cap C^c$

(6) 不多于一个事件出现

• 意思是：出现的事件个数为 0 个或 1 个。
• 包括以下几种情况：
  • 都不出现：$ A^c \cap B^c \cap C^c $
  • 只有 $ A $ 出现：$ A \cap B^c \cap C^c $
  • 只有 $ B $ 出现：$ A^c \cap B \cap C^c $
  • 只有 $ C $ 出现：$ A^c \cap B^c \cap C $
• 所以整体是这四个互斥事件的并：
  $(A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C)$

(7) 不多于两个事件出现

• 意思是：出现的事件个数为 0、1 或 2 个，不包括三个都出现的情况。

• 也就是 “不是三个都出现” 的补集的补？更直接地，可以表示为：
  $(A \cap B \cap C)^c$
  因为“不多于两个出现” 等价于 “并非三个都出现”。

  或者从正面考虑：所有可能情况去掉“三个都出现”的情况，即：
  $\Omega \setminus (A \cap B \cap C) = (A \cap B \cap C)^c$

• 所以表达式为：
  $(A \cap B \cap C)^c$

(8) 三个事件中至少有两个出现

• 即出现两个或三个事件。

• 包括以下情况：

  • $ A $ 和 $ B $ 出现，$ C $ 不出现：$ A \cap B \cap C^c $
  • $ A $ 和 $ C $ 出现，$ B $ 不出现：$ A \cap C \cap B^c $
  • $ B $ 和 $ C $ 出现，$ A $ 不出现：$ B \cap C \cap A^c $
  • $ A, B, C $ 都出现：$ A \cap B \cap C $

• 所以整体是这四个事件的并：
  $(A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap C \cap B^c) \cup (B \cap C \cap A^c) \cup (A \cap B \cap C)$

  注意：也可以简化为“任意两个事件同时发生”的并，即：
  $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$
  但这个表达式是否完全等价？

  验证：若 $ A \cap B $ 发生，不管 $ C $ 是否发生，都包含在内。所以 $ A \cap B \cap C $ 和 $ A \cap B \cap C^c $ 都包含在 $ A \cap B $ 中。同理其他。因此：
  $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$
  确实表示“至少有两个事件同时发生”。

  所以更简洁的表达式为：
  $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

最终答案汇总：

(1) $ A \cap B^c \cap C^c $
(2) $ A \cap B \cap C^c $
(3) $ A \cap B \cap C $
(4) $ A \cup B \cup C $
(5) $ A^c \cap B^c \cap C^c $
(6) $ (A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) $
(7) $ (A \cap B \cap C)^c $
(8) $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $

答案：

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\ A \cap B^c \cap C^c \\&(2)\ A \cap B \cap C^c \\&(3)\ A \cap B \cap C \\&(4)\ A \cup B \cup C \\&(5)\ A^c \cap B^c \cap C^c \\&(6)\ (A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) \\&(7)\ (A \cap B \cap C)^c \\&(8)\ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\end{aligned} }$