求函数 y = 2x^2 - ln x 的单调区间和极值。

我们来求函数 $ y = 2x^2 - \ln x $ 的单调区间和极值。

第一步：确定定义域

函数中包含 $ \ln x $，所以定义域为：

$x > 0$

第二步：求导数

为了判断单调性和极值，我们先求导：

$y = 2x^2 - \ln x$

对 $ x $ 求导：

$y' = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(\ln x) = 4x - \frac{1}{x}$

第三步：求导数的零点（极值点）

令导数为零，求临界点：

$4x - \frac{1}{x} = 0$

两边同时乘以 $ x $（注意 $ x > 0 $）：

$4x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

（因为 $ x > 0 $，只取正根）

第四步：判断单调性

我们分析导数 $ y' = 4x - \frac{1}{x} $ 的符号。

• 当 $ x < \frac{1}{2} $ 时，比如取 $ x = \frac{1}{4} $：

$y' = 4 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 - 4 = -3 < 0$

所以函数在 $ (0, \frac{1}{2}) $ 上单调递减。

• 当 $ x > \frac{1}{2} $ 时，比如取 $ x = 1 $：

$y' = 4 \cdot 1 - \frac{1}{1} = 4 - 1 = 3 > 0$

所以函数在 $ (\frac{1}{2}, +\infty) $ 上单调递增。

第五步：判断极值

因为导数在 $ x = \frac{1}{2} $ 处由负变正，所以该点是极小值点。

计算极小值：

$y\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \ln 2$

最终答案：

• 单调递减区间：$ (0, \frac{1}{2}) $
• 单调递增区间：$ (\frac{1}{2}, +\infty) $
• 极小值点：$ x = \frac{1}{2} $
• 极小值：$ y = \frac{1}{2} + \ln 2 $

✅ 答案总结：

• 单调区间：
  • 减区间：$ (0, \frac{1}{2}) $
  • 增区间：$ (\frac{1}{2}, +\infty) $
• 极值：
  • 极小值点：$ x = \frac{1}{2} $
  • 极小值：$ \boxed{\frac{1}{2} + \ln 2} $