题目
设L是从A(1,1)到D(2,1)到B(2,3)再到A(1,1)的三角形边界,则int_(L) xydx + (y-x)dy = ( )A. 3/2B. -2/3C. -8/3D. 8/3
设L是从A(1,1)到D(2,1)到B(2,3)再到A(1,1)的三角形边界,则$\int_{L} xydx + (y-x)dy = (\ )$
A. $3/2$
B. $-2/3$
C. $-8/3$
D. $8/3$
题目解答
答案
C. $-8/3$
解析
步骤 1：确定积分路径和被积函数
题目中给出的积分路径L是从A(1,1)到D(2,1)到B(2,3)再到A(1,1)的三角形边界。被积函数为$xydx + (y-x)dy$。
步骤 2：应用格林公式
格林公式可以将闭合路径上的线积分转换为积分区域上的二重积分。设$P = xy$，$Q = y - x$，则有
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - x. \]
步骤 3：计算二重积分
积分区域为三角形，顶点为$A(1,1)$，$D(2,1)$，$B(2,3)$。根据三角形的顶点，可以确定积分区域的边界。二重积分可以表示为
\[ \iint_{D} (-1 - x) \, dA = \int_{1}^{2} \int_{1}^{2x-1} (-1 - x) \, dy \, dx. \]
计算内层积分
\[ \int_{1}^{2x-1} (-1 - x) \, dy = (-1 - x)(2x - 1 - 1) = (-1 - x)(2x - 2) = -2x^2 + 2. \]
计算外层积分
\[ \int_{1}^{2} (-2x^2 + 2) \, dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x \right]_{1}^{2} = -\frac{2}{3}(8 - 1) + 2(2 - 1) = -\frac{14}{3} + 2 = -\frac{8}{3}. \]
题目中给出的积分路径L是从A(1,1)到D(2,1)到B(2,3)再到A(1,1)的三角形边界。被积函数为$xydx + (y-x)dy$。
步骤 2：应用格林公式
格林公式可以将闭合路径上的线积分转换为积分区域上的二重积分。设$P = xy$，$Q = y - x$，则有
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - x. \]
步骤 3：计算二重积分
积分区域为三角形，顶点为$A(1,1)$，$D(2,1)$，$B(2,3)$。根据三角形的顶点，可以确定积分区域的边界。二重积分可以表示为
\[ \iint_{D} (-1 - x) \, dA = \int_{1}^{2} \int_{1}^{2x-1} (-1 - x) \, dy \, dx. \]
计算内层积分
\[ \int_{1}^{2x-1} (-1 - x) \, dy = (-1 - x)(2x - 1 - 1) = (-1 - x)(2x - 2) = -2x^2 + 2. \]
计算外层积分
\[ \int_{1}^{2} (-2x^2 + 2) \, dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x \right]_{1}^{2} = -\frac{2}{3}(8 - 1) + 2(2 - 1) = -\frac{14}{3} + 2 = -\frac{8}{3}. \]