题目
(int )_(0)^1dfrac (1)(1+5x)dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分类型
这是一个定积分问题，需要计算函数 $\dfrac {1}{1+5x}$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分。
步骤 2：使用换元法
设 $u = 1 + 5x$，则 $du = 5dx$，从而 $dx = \dfrac{1}{5}du$。当 $x = 0$ 时，$u = 1$；当 $x = 1$ 时，$u = 6$。因此，原积分可以写为：
$$\int_{0}^{1}\dfrac {1}{1+5x}dx = \int_{1}^{6}\dfrac {1}{u} \cdot \dfrac{1}{5}du$$
步骤 3：计算积分
根据积分公式 $\int \dfrac{1}{u}du = \ln|u| + C$，我们有：
$$\int_{1}^{6}\dfrac {1}{u} \cdot \dfrac{1}{5}du = \dfrac{1}{5}\int_{1}^{6}\dfrac {1}{u}du = \dfrac{1}{5}[\ln|u|]_{1}^{6}$$
$$= \dfrac{1}{5}(\ln 6 - \ln 1) = \dfrac{1}{5}\ln 6$$
这是一个定积分问题，需要计算函数 $\dfrac {1}{1+5x}$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分。
步骤 2：使用换元法
设 $u = 1 + 5x$，则 $du = 5dx$，从而 $dx = \dfrac{1}{5}du$。当 $x = 0$ 时，$u = 1$；当 $x = 1$ 时，$u = 6$。因此，原积分可以写为：
$$\int_{0}^{1}\dfrac {1}{1+5x}dx = \int_{1}^{6}\dfrac {1}{u} \cdot \dfrac{1}{5}du$$
步骤 3：计算积分
根据积分公式 $\int \dfrac{1}{u}du = \ln|u| + C$，我们有：
$$\int_{1}^{6}\dfrac {1}{u} \cdot \dfrac{1}{5}du = \dfrac{1}{5}\int_{1}^{6}\dfrac {1}{u}du = \dfrac{1}{5}[\ln|u|]_{1}^{6}$$
$$= \dfrac{1}{5}(\ln 6 - \ln 1) = \dfrac{1}{5}\ln 6$$