题目
在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为 ____ ．
在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为 ____ ．
题目解答
答案
解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，
∵h=$\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，∴$S=（r+x）•\;\;\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，$S′=\frac{（r-2x）（r+x）}{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}$
令S′=0，得x=$\frac{r}{2}$（x=-r舍），则h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r．
当x∈（0，$\frac{r}{2}$）时，S′＞0；当$\frac{r}{2}$＜x＜r时，S′＜0．
∴当x=$\frac{r}{2}$时，S取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．
故答案为：r
∵h=$\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，∴$S=（r+x）•\;\;\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，$S′=\frac{（r-2x）（r+x）}{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}$
令S′=0，得x=$\frac{r}{2}$（x=-r舍），则h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r．
当x∈（0，$\frac{r}{2}$）时，S′＞0；当$\frac{r}{2}$＜x＜r时，S′＜0．
∴当x=$\frac{r}{2}$时，S取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．
故答案为：r
解析
步骤 1：定义梯形的上底长和高
设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S。因为梯形的底为直径，所以底长为2r。
步骤 2：利用勾股定理求高
根据勾股定理，高h可以表示为$h=\sqrt{r^2-x^2}$，其中r是半圆的半径，x是上底到圆心的距离。
步骤 3：梯形面积的表达式
梯形的面积S可以表示为$S=\frac{1}{2}（2r+2x）h$，将h的表达式代入，得到$S=（r+x）\sqrt{r^2-x^2}$。
步骤 4：求导数
为了找到面积S的最大值，我们需要对S关于x求导数，得到$S'=\frac{（r-2x）（r+x）}{\sqrt{r^2-x^2}}$。
步骤 5：求导数为0的点
令S′=0，解得x=$\frac{r}{2}$（x=-r舍去，因为x是距离，不能为负）。
步骤 6：验证最大值
当x∈（0，$\frac{r}{2}$）时，S′＞0；当$\frac{r}{2}$＜x＜r时，S′＜0。因此，当x=$\frac{r}{2}$时，S取极大值。
设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S。因为梯形的底为直径，所以底长为2r。
步骤 2：利用勾股定理求高
根据勾股定理，高h可以表示为$h=\sqrt{r^2-x^2}$，其中r是半圆的半径，x是上底到圆心的距离。
步骤 3：梯形面积的表达式
梯形的面积S可以表示为$S=\frac{1}{2}（2r+2x）h$，将h的表达式代入，得到$S=（r+x）\sqrt{r^2-x^2}$。
步骤 4：求导数
为了找到面积S的最大值，我们需要对S关于x求导数，得到$S'=\frac{（r-2x）（r+x）}{\sqrt{r^2-x^2}}$。
步骤 5：求导数为0的点
令S′=0，解得x=$\frac{r}{2}$（x=-r舍去，因为x是距离，不能为负）。
步骤 6：验证最大值
当x∈（0，$\frac{r}{2}$）时，S′＞0；当$\frac{r}{2}$＜x＜r时，S′＜0。因此，当x=$\frac{r}{2}$时，S取极大值。