[判断题](2分) 极限lim_(xto0)(e^x-e^-x)/(x)=2。()A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是等价无穷小替换和洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当遇到$\frac{0}{0}$型不定式时，可以考虑使用洛必达法则对分子分母分别求导，或利用等价无穷小替换简化表达式。本题中，分子$e^x - e^{-x}$在$x \to 0$时可展开为$2x$，从而快速求得极限值。

破题关键点：

1. 识别极限形式为$\frac{0}{0}$型，确定适用洛必达法则或等价无穷小替换。
2. 正确展开或求导，简化表达式后求极限。

方法一：洛必达法则

1. 验证形式：当$x \to 0$时，分子$e^x - e^{-x} \to 0$，分母$x \to 0$，满足$\frac{0}{0}$型。
2. 应用洛必达法则：对分子分母分别求导：
   • 分子导数：$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$
   • 分母导数：$\frac{d}{dx}(x) = 1$
3. 求极限：
   $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$

方法二：等价无穷小替换

1. 展开泰勒多项式：当$x \to 0$时，$e^x \approx 1 + x$，$e^{-x} \approx 1 - x$。
2. 简化分子：
   $e^x - e^{-x} \approx (1 + x) - (1 - x) = 2x$
3. 代入极限：
   $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2$

结论：两种方法均得极限值为$2$，故原命题正确。