题目
0-|||-w如图所示，用一根长为L=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？（3）细线的张力FT与小球匀速转动的角速度ω的关系。
如图所示，用一根长为L=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
（3）细线的张力FT与小球匀速转动的角速度ω的关系。
题目解答
答案
解：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：
$\left.\begin{array}{l}{mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lsinθ}\\{则{{ω}_{0}}^{2}=\frac{g}{lcosθ}}\\{{ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{12.5}rad/s}\end{array}\right.$
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mgtan60°=mω′2lsin60°
得，ω′=$\sqrt{\frac{g}{lcos60°}}$=$\sqrt{\frac{10}{1×\frac{1}{2}}}$=2$\sqrt{5}$rad/s
（3）a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$时，根据牛顿第二定律得：
$\left\{\begin{array}{l}{Tsinθ-Ncosθ=mω{\;}^{2}lsinθ}\\{Tcosθ+Nsinθ=mg}\end{array}\right.$
得：${F}_{T}=mgcosθ+ml{ω}^{2}si{n}^{2}θ=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β
$\left.\begin{array}{l}{{T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}lsinβ}\end{array}\right.$
得：$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$
答：（1）小球的角速度ω0至少为$\sqrt{12.5}$rad/s。
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为2$\sqrt{5}$rad/s。
（3）a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$时，${F}_{T}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$时，小球离开锥面，细线的拉力$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lsinθ}\\{则{{ω}_{0}}^{2}=\frac{g}{lcosθ}}\\{{ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{12.5}rad/s}\end{array}\right.$
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mgtan60°=mω′2lsin60°
得，ω′=$\sqrt{\frac{g}{lcos60°}}$=$\sqrt{\frac{10}{1×\frac{1}{2}}}$=2$\sqrt{5}$rad/s
（3）a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$时，根据牛顿第二定律得：
$\left\{\begin{array}{l}{Tsinθ-Ncosθ=mω{\;}^{2}lsinθ}\\{Tcosθ+Nsinθ=mg}\end{array}\right.$
得：${F}_{T}=mgcosθ+ml{ω}^{2}si{n}^{2}θ=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β
$\left.\begin{array}{l}{{T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}lsinβ}\end{array}\right.$
得：$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$
答：（1）小球的角速度ω0至少为$\sqrt{12.5}$rad/s。
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为2$\sqrt{5}$rad/s。
（3）a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$时，${F}_{T}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$时，小球离开锥面，细线的拉力$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$