题目

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= 0, 其他-|||-dfrac (21)(4)(x)^2y x^2≤y≤1则边缘概率密度f(x,y)= 0, 其他-|||-dfrac (21)(4)(x)^2y x^2≤y≤1=( )f(x,y)= 0, 其他-|||-dfrac (21)(4)(x)^2y x^2≤y≤1

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{21}{4}x^2y,&x^2\le y\le 1 \\ 0,&其他 \end{cases}$

则边缘概率密度 $f_Y(y)$ =( )

$\begin{array}{l} A.\begin{cases} \frac{7}{2}y^{\frac{7}{2} } ,&-1\le y\le 1\\ 0,&其他 \end{cases} \\ B.\begin{cases} \frac{7}{2}y^{\frac{7}{2} } ,&0\le y\le 1\\ 0,&其他 \end{cases} \\ C.\begin{cases} \frac{7}{2}y^{\frac{5}{2} } ,&-1\le y\le 1\\ 0,&其他 \end{cases} \end{array}$

题目解答

答案

边缘概率密度是指从联合概率密度中得到其中一个随机变量的概率密度。

边缘概率密度 $f_Y(y)$ 可以通过联合概率密度f(x,y)积分得到。 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx$

对于给定的y，当x的取值范围是满足条件 $x^2\le y\le1$ 时，f(x,y) 才不等于0。因此，对于边缘概率密度 $f_Y(y)$ ，我们只需在这个范围内计算积分。 $f_Y(y)=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{21}{4}x^2ydx=\frac{21y}{4}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}x^2dx$

计算积分：

$f_Y(y)=\frac{21y}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}=\frac{21y}{4}\left(\frac{(\sqrt{y})^3}{3}-\frac{(-\sqrt{y})^3}{3}\right)=\frac{21y}{4}\cdot\frac{2\sqrt{y^3}}{3}=\frac{7}{2}y^{\frac{5}{2}}$

因此，边缘概率密度 $f_Y(y)$ 的表达式为： $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{7}{2}y^{\frac{5}{2}}, & -1 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

所以，选项 C 是正确答案。

解析

步骤 1：确定联合概率密度函数
给定的联合概率密度函数为$f(x,y)=\dfrac{21}{4}x^2y$，其中$0\leq x^2\leq y\leq 1$。

步骤 2：计算边缘概率密度$f_X(x)$
边缘概率密度$f_X(x)$可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$y$积分得到。即$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$。由于$f(x,y)$在$0\leq x^2\leq y\leq 1$的范围内不为0，因此积分范围为$x^2$到$1$。
$f_X(x)={\int }_{x^2}^{1}\dfrac{21}{4}x^2ydy$。

步骤 3：执行积分
计算积分$f_X(x)={\int }_{x^2}^{1}\dfrac{21}{4}x^2ydy$。
$f_X(x)=\dfrac{21}{4}x^2{\int }_{x^2}^{1}ydy=\dfrac{21}{4}x^2[\dfrac{y^2}{2}]_{x^2}^{1}=\dfrac{21}{4}x^2(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^4}{2})=\dfrac{21}{8}x^2(1-x^4)$。