题目
曲面=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2上与 平面=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2平行的切平面为（ ）=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2
曲面
上与 平面
平行的切平面为（ ）
题目解答
答案
设切点
，则点
的法向量为
∵平面
∴平面法向量为：
∴
，
得到切点坐标为：
∴所求平面方程为：
故答案选择C。
解析
步骤 1：确定切点
设切点P(x0,y0,z0)，则点的法向量为$({x}_{0},2{y}_{0},-1)$，因为曲面$z=\dfrac {{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$在点P处的法向量由曲面的偏导数确定，即$z_x = x$，$z_y = 2y$，所以法向量为$(x_0, 2y_0, -1)$。
步骤 2：确定平面法向量
平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)。
步骤 3：法向量平行条件
由于切平面与给定平面平行，所以它们的法向量也平行，即$\dfrac {{x}_{0}}{2}=\dfrac {2{y}_{0}}{2}=\dfrac {-1}{-1}$，从而得到$x_0=2$，$y_0=1$。
步骤 4：确定切点坐标
将$x_0=2$，$y_0=1$代入曲面方程$z=\dfrac {{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$，得到$z_0=\dfrac {{2}^{2}}{2}+{1}^{2}=3$，所以切点坐标为(2,1,3)。
步骤 5：确定切平面方程
切平面方程为$2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0$，化简得到$2x+2y-z-3=0$。
设切点P(x0,y0,z0)，则点的法向量为$({x}_{0},2{y}_{0},-1)$，因为曲面$z=\dfrac {{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$在点P处的法向量由曲面的偏导数确定，即$z_x = x$，$z_y = 2y$，所以法向量为$(x_0, 2y_0, -1)$。
步骤 2：确定平面法向量
平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)。
步骤 3：法向量平行条件
由于切平面与给定平面平行，所以它们的法向量也平行，即$\dfrac {{x}_{0}}{2}=\dfrac {2{y}_{0}}{2}=\dfrac {-1}{-1}$，从而得到$x_0=2$，$y_0=1$。
步骤 4：确定切点坐标
将$x_0=2$，$y_0=1$代入曲面方程$z=\dfrac {{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$，得到$z_0=\dfrac {{2}^{2}}{2}+{1}^{2}=3$，所以切点坐标为(2,1,3)。
步骤 5：确定切平面方程
切平面方程为$2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0$，化简得到$2x+2y-z-3=0$。