设一批产品中有95%的合格品,且在合格品中一等品的占有率为60%.求: (1)从该批产品中任取1件,其为一等品的概率;(2)在取出的1件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率。

考查要点：本题主要考查条件概率的理解与应用，以及事件间关系的分析能力。

解题核心思路：

1. 第一问：利用条件概率公式，将“一等品”的概率分解为“合格品”与“合格品中的一等品”两部分的乘积。
2. 第二问：通过逆向条件概率，将问题转化为“非一等品”条件下“不合格品”的概率，需正确拆分事件间的包含关系。

破题关键点：

• 明确事件定义：区分“合格品”与“一等品”的层级关系。
• 事件分解：理解“非一等品”包含“合格非一等品”和“不合格品”两部分。

第（1）题

目标：求任取一件是一等品的概率 $P(B)$。

定义事件

• 事件 $A$：产品为合格品，$P(A) = 0.95$。
• 事件 $B$：产品为一等品，且在合格品中 $P(B|A) = 0.6$。

应用条件概率公式

根据条件概率公式：
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \implies P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.6 \times 0.95 = 0.57.$
因此，$P(B) = 0.57$。

第（2）题

目标：求在“非一等品”条件下为不合格品的概率 $P(\neg A | \neg B)$。

定义事件

• 事件 $\neg B$：产品非一等品，$P(\neg B) = 1 - P(B) = 1 - 0.57 = 0.43$。
• 事件 $\neg A$：产品不合格，$P(\neg A) = 1 - P(A) = 0.05$。

分析事件关系

“非一等品”包含两种情况：

1. 合格非一等品：$A \cap \neg B$。
2. 不合格品：$\neg A$（不合格品必然属于 $\neg B$）。

因此，$P(\neg A \cap \neg B) = P(\neg A) = 0.05$。

计算条件概率

$P(\neg A | \neg B) = \frac{P(\neg A \cap \neg B)}{P(\neg B)} = \frac{0.05}{0.43} \approx 0.1163.$