题目
(2021年高考全国甲卷理科)已知函数(x)=2cos (omega x+varphi )的部分图像如图所示,则满足条件(x)=2cos (omega x+varphi )的最小正整数x为________.(x)=2cos (omega x+varphi )
(2021年高考全国甲卷理科)已知函数
的部分图像如图所示,则满足条件
的最小正整数x为________.
的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为________.
题目解答
答案
[答案]2
解析:由图可知
,即
,所以
;
,即,所以;由五点法可得
,即
;
,即;所以
.
.因为
,
;
,;所以由
可得
或
;
可得或;因为
,所以,
,所以,方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足,即
,
,即,解得
,令
,可得
,
,令,可得,可得
的最小正整数为2.
的最小正整数为2.方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足,又
,符合题意,可得的最小正整数为2.
,又,符合题意,可得的最小正整数为2.故答案为:2.
解析
步骤 1：确定函数$f(x)$的周期和相位
由图可知，函数$f(x)=2\cos (\omega x+\varphi )$的周期$T$满足$\dfrac {3}{4}T=\dfrac {13\pi }{12}-\dfrac {\pi }{3}=\dfrac {3\pi }{4}$，即$T=\dfrac {2\pi }{\omega }=\pi$，所以$\omega =2$。由五点法可得$2\times \dfrac {\pi }{3}+\varphi =\dfrac {\pi }{2}$，即$\varphi =-\dfrac {\pi }{6}$。因此，$f(x)=2\cos (2x-\dfrac {\pi }{6})$。
步骤 2：计算$f(-\dfrac {7\pi }{4})$和$f(\dfrac {4\pi }{3})$
$f(-\dfrac {7\pi }{4})=2\cos (-\dfrac {11\pi }{3})=1$，$f(\dfrac {4\pi }{3})=2\cos (\dfrac {5\pi }{2})=0$。
步骤 3：求解不等式$(f(x)-f(-\dfrac {7\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac {4\pi }{3}))\gt 0$
由$(f(x)-f(-\dfrac {7\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac {4\pi }{3}))\gt 0$可得$f(x)\gt 1$或$0\gt f(x)$。因为$f(1)=2\cos (2-\dfrac {\pi }{6})\lt 2\cos (\dfrac {\pi }{2}-\dfrac {\pi }{6})=1$，所以，最小正整数应该满足$0\gt f(x)$，即$\cos (2x-\dfrac {\pi }{6})\lt 0$，解得$k\pi +\dfrac {\pi }{3}\lt x\lt k\pi +\dfrac {5\pi }{6}$，$k\in Z$。令$k=0$，可得$\dfrac {\pi }{3}\lt x\lt \dfrac {5\pi }{6}$，可得$x$的最小正整数为2。
由图可知，函数$f(x)=2\cos (\omega x+\varphi )$的周期$T$满足$\dfrac {3}{4}T=\dfrac {13\pi }{12}-\dfrac {\pi }{3}=\dfrac {3\pi }{4}$，即$T=\dfrac {2\pi }{\omega }=\pi$，所以$\omega =2$。由五点法可得$2\times \dfrac {\pi }{3}+\varphi =\dfrac {\pi }{2}$，即$\varphi =-\dfrac {\pi }{6}$。因此，$f(x)=2\cos (2x-\dfrac {\pi }{6})$。
步骤 2：计算$f(-\dfrac {7\pi }{4})$和$f(\dfrac {4\pi }{3})$
$f(-\dfrac {7\pi }{4})=2\cos (-\dfrac {11\pi }{3})=1$，$f(\dfrac {4\pi }{3})=2\cos (\dfrac {5\pi }{2})=0$。
步骤 3：求解不等式$(f(x)-f(-\dfrac {7\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac {4\pi }{3}))\gt 0$
由$(f(x)-f(-\dfrac {7\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac {4\pi }{3}))\gt 0$可得$f(x)\gt 1$或$0\gt f(x)$。因为$f(1)=2\cos (2-\dfrac {\pi }{6})\lt 2\cos (\dfrac {\pi }{2}-\dfrac {\pi }{6})=1$，所以，最小正整数应该满足$0\gt f(x)$，即$\cos (2x-\dfrac {\pi }{6})\lt 0$，解得$k\pi +\dfrac {\pi }{3}\lt x\lt k\pi +\dfrac {5\pi }{6}$，$k\in Z$。令$k=0$，可得$\dfrac {\pi }{3}\lt x\lt \dfrac {5\pi }{6}$，可得$x$的最小正整数为2。