重复掷一枚骰子直到恰好出现两次被3整除的点为止. X=投掷次数.求P(X=4) = _.(答案写成最简分数alb)

考查要点：本题主要考查负二项分布的应用，即求在第n次试验时恰好取得第k次成功的概率。需要理解“恰好在第4次投掷时出现第2次成功”的条件。

解题核心思路：

1. 分解事件：事件“X=4”等价于“前3次投掷恰好出现1次成功，且第4次投掷成功”。
2. 分步计算概率：
   • 前3次中成功次数为1的概率（二项分布）；
   • 第4次成功的概率；
3. 乘法原理：将两部分概率相乘得到最终结果。

破题关键点：

• 明确“恰好”的条件：前3次不能出现2次及以上成功，否则会在第4次之前提前终止；
• 正确应用组合数：计算前3次中1次成功的组合方式。

步骤1：确定前3次投掷的结果

要求前3次投掷中恰好有1次成功（被3整除），2次失败（不被3整除）。

• 成功概率：每次成功的概率为$\dfrac{1}{3}$（骰子点数为3或6）；
• 失败概率：每次失败的概率为$\dfrac{2}{3}$；
• 组合数：前3次中选择1次成功，有$C_3^1 = 3$种方式。
  因此，前3次的概率为：
  $C_3^1 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 3 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9}.$

步骤2：第4次投掷必须成功

第4次投掷需要出现被3整除的点数，概率为$\dfrac{1}{3}$。

步骤3：总概率计算

将前3次的概率与第4次成功的概率相乘：
$P(X=4) = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}.$