对任意n阶方阵A B,总有（ ）A (A+2E)(A-2E)=(A)^2-4EB(A+2E)(A-2E)=(A)^2-4EC (A+2E)(A-2E)=(A)^2-4E D (A+2E)(A-2E)=(A)^2-4E

本题考查矩阵运算的基本性质，重点在于识别不同矩阵运算中的特殊规律。解题核心在于：

1. 矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$；
2. 平方差公式在矩阵中的适用性；
3. 矩阵转置的运算规则。

关键点在于逐项验证选项是否对任意矩阵 $A,B$ 成立，需特别注意展开过程中的运算顺序和可能的反例。

选项A：$(A+2E)(A-2E)=A^2-4E$

• 展开左边：
  $(A+2E)(A-2E) = A \cdot A - A \cdot 2E + 2E \cdot A - 2E \cdot 2E$
  • $A \cdot 2E = 2A$，$2E \cdot A = 2A$（单位矩阵与标量乘法性质）
  • $2E \cdot 2E = 4E$
  • 代入后得：$A^2 - 2A + 2A - 4E = A^2 - 4E$，与右边相等。
• 结论：成立。

选项B：$(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB$

• 展开左边：
  $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$
  • 若 $AB \neq BA$，则 $AB + BA \neq 2AB$。
• 反例：取 $A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B = E$，验证可得左边不等于右边。
• 结论：不成立。

选项C：$(AB)^2 = A^2B^2$

• 展开左边：
  $(AB)^2 = AB \cdot AB = ABAB$
  • 右边为 $A^2B^2 = A \cdot A \cdot B \cdot B$。
  • 若 $AB \neq BA$，一般情况下 $ABAB \neq A^2B^2$。
• 反例：取 $A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，验证可得左边不等于右边。
• 结论：不成立。

选项D：$(AB)^T = A^T B^T$

• 正确转置公式：
  $(AB)^T = B^T A^T$
  • 选项中顺序错误，应为 $B^T A^T$。
• 结论：不成立。