题目
若行列式D=0,则必有两行元素完全相同()(填'对'或者'错')A. 对B. 错
若行列式D=0,则必有两行元素完全相同()(填'对'或者'错')
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
考查要点:本题主要考查行列式为零的条件,以及对矩阵行(列)线性相关性的理解。
解题核心思路:行列式为零的充要条件是矩阵的行(或列)向量线性相关。但线性相关并不一定意味着存在两行元素完全相同,可能存在其他形式的线性关系(如成比例、行之间存在加减组合等)。因此,题目中的结论过于绝对,需要通过反例判断其正确性。
破题关键点:通过构造反例(行列式为零但无两行完全相同的情况),直接否定原命题的正确性。
关键思路:
行列式为零时,矩阵的行向量线性相关,但线性相关的形式多样,例如:
- 两行成比例(但元素不完全相同);
- 某一行是其他行的线性组合。
反例说明:
构造一个2×2矩阵:
$\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 4\end{pmatrix}$
计算行列式:
$D = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$
此时行列式为零,但两行元素并不完全相同,仅成比例关系。这说明行列式为零时,不一定存在两行完全相同,因此原命题错误。