题目
若函数f(x,y)在f(x,y)点的两个偏导数都存在，则f(x,y)在该点沿任一方向的方向导数都存在.（ ）对错
若函数
在
点的两个偏导数都存在，则在该点沿任一方向的方向导数都存在.（ ）
- 对
- 错
题目解答
答案
解：∵两个偏导数都存在
∴任一方向都与这两个偏导数存在方向余弦
即
任一方向的方向导数都可分解在两个偏导数上
∴沿任一方向的方向导数都存在
反之则不成立，例如在圆锥的顶点上
沿任一方向的方向导数都存在，但在顶点上偏导数不存在
故正确答案为A.
解析
步骤 1：理解偏导数和方向导数的定义
偏导数是函数在某一点沿坐标轴方向的变化率，而方向导数是函数在某一点沿任意方向的变化率。
步骤 2：分析偏导数存在对方向导数的影响
如果函数在某一点的两个偏导数都存在，那么函数在该点沿坐标轴方向的变化率是确定的。根据方向导数的定义，方向导数可以表示为偏导数的线性组合，其中系数是方向余弦。
步骤 3：验证方向导数的存在性
由于方向导数是偏导数的线性组合，如果偏导数存在，那么方向导数也存在。因此，如果函数在某一点的两个偏导数都存在，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在。
步骤 4：考虑反例
虽然偏导数存在可以保证方向导数存在，但方向导数存在不一定保证偏导数存在。例如，在圆锥的顶点上，沿任一方向的方向导数都存在，但在顶点上偏导数不存在。
偏导数是函数在某一点沿坐标轴方向的变化率，而方向导数是函数在某一点沿任意方向的变化率。
步骤 2：分析偏导数存在对方向导数的影响
如果函数在某一点的两个偏导数都存在，那么函数在该点沿坐标轴方向的变化率是确定的。根据方向导数的定义，方向导数可以表示为偏导数的线性组合，其中系数是方向余弦。
步骤 3：验证方向导数的存在性
由于方向导数是偏导数的线性组合，如果偏导数存在，那么方向导数也存在。因此，如果函数在某一点的两个偏导数都存在，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在。
步骤 4：考虑反例
虽然偏导数存在可以保证方向导数存在，但方向导数存在不一定保证偏导数存在。例如，在圆锥的顶点上，沿任一方向的方向导数都存在，但在顶点上偏导数不存在。