(3)已知粒子在无限深势阱中运动,其波函数为 psi (x)=sqrt (2/a)sin (pi x/a)(0leqslant xleqslant a) ,求-|||-发现粒子的概率为最大的位置。

考查要点：本题主要考查概率密度的最大值位置，需要理解波函数与概率密度的关系，并掌握三角函数的极值性质或利用导数求极值的方法。

解题核心思路：

1. 概率密度为波函数的模平方，即 $|\psi(x)|^2$。
2. 三角函数极值性质：$\sin^2\theta$ 的最大值出现在 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）。
3. 结合题目中波函数的具体形式，确定 $\theta$ 的表达式，求解对应的 $x$ 值。

破题关键点：

• 明确概率密度的最大值对应 $\sin^2(\pi x/a)$ 的最大值。
• 利用 $\sin^2\theta$ 的最大值条件，直接得出 $x$ 的位置，或通过求导验证。

概率密度函数为：
$|\psi(x)|^2 = \left( \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) \right)^2 = \frac{2}{a} \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right).$

求最大值位置：

1. 三角函数性质法：
   $\sin^2\theta$ 的最大值为 $1$，当且仅当 $\sin\theta = \pm 1$，即 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）。
   代入 $\theta = \frac{\pi x}{a}$，得：
   $\frac{\pi x}{a} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a}{2} + k a.$
   在 $0 \leq x \leq a$ 范围内，仅当 $k=0$ 时，$x = \frac{a}{2}$ 有效。

2. 导数法验证：
   对概率密度函数求导并令导数为零：
   $\frac{d}{dx} \left( \frac{2}{a} \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) \right) = \frac{4\pi}{a^2} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{\pi x}{a}\right) = 0.$
   解得 $\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) = 0$ 或 $\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right) = 0$：

   • $\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) = 0$ 对应 $x=0$ 或 $x=a$，此时概率密度为 $0$（极小值）。
   • $\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right) = 0$ 对应 $x = \frac{a}{2}$，此时概率密度为最大值 $\frac{2}{a}$。