64、一条圆形跑道长 500 米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方向匀速跑步。已知甲跑了 600 米后第一次追上乙，此后甲加速 20%继续前进，又跑了 1200 米后第二次追上乙。问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点?A. 100B. 120C. 150D. 180

考查要点：本题主要考查环形跑道上的追及问题，涉及相对速度、速度变化后的追及分析，以及初始位置关系的确定。

解题核心思路：

1. 第一次追及：甲追上乙时，甲比乙多跑的路程等于两人初始位置的顺时针距离差。
2. 第二次追及：甲加速后，两人速度差增大，第二次追及时甲比乙多跑一圈（500米）。
3. 速度关系：通过两次追及的路程和时间关系，建立方程求解甲、乙速度比。
4. 初始距离：利用速度比反推甲出发后到达乙出发点的初始距离。

破题关键点：

• 相对速度：两次追及的时间与路程差需分别对应不同的速度关系。
• 初始距离：第一次追及时甲比乙多跑的路程即为甲到达乙出发点所需路程。

第一次追及分析

设甲原速度为$v$，乙速度为$u$。第一次追及时，甲跑600米，用时$t_1 = \frac{600}{v}$。此时乙跑的路程为：
$u \cdot t_1 = \frac{600u}{v}$
根据追及条件，甲比乙多跑初始距离$d$：
$600 - \frac{600u}{v} = d \quad \text{(1)}$

第二次追及分析

甲加速20%后速度为$1.2v$，再跑1200米用时$t_2 = \frac{1200}{1.2v} = \frac{1000}{v}$。此时乙跑的路程为：
$u \cdot t_2 = \frac{1000u}{v}$
第二次追及时，甲比乙多跑一圈（500米）：
$1200 - \frac{1000u}{v} = 500 \quad \text{(2)}$

联立方程求解

由方程(2)得：
$\frac{1000u}{v} = 700 \implies \frac{u}{v} = 0.7$
代入方程(1)：
$d = 600 - 600 \times 0.7 = 180$
因此，甲出发后需跑180米才能第一次到达乙的出发点。