设二维随机变量(X,Y)服从圆区域x^2 + y^2 leq r^2上的二维均匀分布，则下列结果正确的是（）A. f_X(x)= } (2)/(pi r^2), & |x| leq r, 0, & (其他) C. X与Y是相互独立的D. X与Y不是相互独立的

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的边缘密度计算及随机变量独立性的判断。

解题核心思路：

1. 联合密度函数：二维均匀分布在圆域上的联合密度函数为常数，需明确其表达式。
2. 边缘密度计算：通过对联合密度函数积分求出边缘密度，注意积分区间随变量变化的规律。
3. 独立性判断：验证联合密度是否等于边缘密度的乘积，若不相等则变量不独立。

破题关键点：

• 边缘密度的正确性：积分时需考虑变量范围对积分区间的影响，避免忽略被积函数随变量变化的特性。
• 独立性的本质：独立性要求联合密度与边缘密度乘积恒等，通过代数运算验证是否成立。

选项分析

选项A和B（边缘密度形式）

1. 联合密度函数：
   $f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{\pi r^2}, & x^2 + y^2 \leq r^2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
2. 计算$f_X(x)$：
   对$y$积分，积分区间为$y \in [-\sqrt{r^2 - x^2}, \sqrt{r^2 - x^2}]$，得：
   $f_X(x) = \int_{-\sqrt{r^2 - x^2}}^{\sqrt{r^2 - x^2}} \dfrac{1}{\pi r^2} \, dy = \dfrac{2\sqrt{r^2 - x^2}}{\pi r^2}, \quad -r \leq x \leq r.$
3. 选项错误原因：
   • 选项A和B均错误地将$f_X(x)$设为常数$\dfrac{2}{\pi r^2}$，忽略了$\sqrt{r^2 - x^2}$随$x$变化的特性。
   • 当$x = \pm r$时，正确$f_X(x) = 0$，但选项A、B仍给出非零值。

选项C和D（独立性判断）

1. 独立性条件：
   若$X$与$Y$独立，则$f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$。
2. 验证乘积：
   $f_X(x) f_Y(y) = \dfrac{2\sqrt{r^2 - x^2}}{\pi r^2} \cdot \dfrac{2\sqrt{r^2 - y^2}}{\pi r^2} = \dfrac{4\sqrt{(r^2 - x^2)(r^2 - y^2)}}{\pi^2 r^4}.$
   而联合密度$f(x, y) = \dfrac{1}{\pi r^2}$，显然两者不相等。
3. 结论：
   $X$与$Y$不独立，故选项D正确。