4.求微分方程y''+y'-2y=0的通解.(5分)

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次线性微分方程的解法，核心是特征方程法的应用。

解题思路：

1. 构造特征方程：将微分方程中的$y''$替换为$r^2$，$y'$替换为$r$，常数项替换为$1$，得到特征方程。
2. 求解特征根：解二次方程得到根$r_1$和$r_2$。
3. 确定通解形式：根据特征根的不同情况，写出对应的通解。本题中特征根为两个不相等的实根，因此通解为两个指数函数的线性组合。

步骤1：构造特征方程

将微分方程$y'' + y' - 2y = 0$中的导数项替换为对应的特征变量：
$r^2 + r - 2 = 0$

步骤2：求解特征方程

使用求根公式：
$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
代入$a=1$，$b=1$，$c=-2$：
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
解得：
$r_1 = 1, \quad r_2 = -2$

步骤3：写出通解

由于特征根为两个不相等的实根，通解形式为：
$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
代入$r_1 = 1$和$r_2 = -2$，得：
$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}$