题目
19)(本题满分12分）已知二元函数f(x,y)有一阶连续偏导数,且满足f(x,y)，f(x,y),求f(x,y)的表达式.
19)(本题满分12分）已知二元函数
有一阶连续偏导数,且满足
，
,求的表达式.
题目解答
答案
首先，根据题目给出的条件，我们有二元函数的一阶连续偏导数满足
。
这个方程是一个一阶线性偏微分方程，我们可以利用特征线法来求解。特征线方程由
得出，即
,其中c是常数。
沿着特征线，函数是常数，即在每条特征线上是一个常数。为了找到这个常数，我们可以考
虑特征线经过的某一点，比如
。
由于在特征线上是常数，我们有
。
接下来，我们需要找到
的表达式。根据题目给出的条件，我们有
。
为了找到,我们可以对
进行不定积分：
这个积分可以通过部分分式分解来求解：
解得
所以
其中C是积分常数。由于
,我们可以确定C的值：
解得
。
因此，
。最后，由于,我们得到
这就是函数的表达式。
综上所述，本题的答案是：。
解析
步骤 1：确定偏微分方程的特征线
根据题目条件，我们有二元函数$f(x,y)$的一阶连续偏导数满足$\dfrac {\partial f}{\partial x}(x,y)+\dfrac {\partial f}{\partial y}(x,y)=0$。这是一个一阶线性偏微分方程，我们可以利用特征线法来求解。特征线方程由$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\partial f/\partial y}{\partial f/\partial x}$得出，即
$$
\frac{dy}{dx} = -1
$$
解得特征线方程为
$$
x + y = c
$$
其中$c$是常数。
步骤 2：求解$f(0,y)$
由于$f(x,y)$在特征线上是常数，我们有$f(x,y) = f(0,y-x)$。接下来，我们需要找到$f(0,y)$的表达式。根据题目给出的条件，我们有$\dfrac {\partial f}{\partial y}(0,y)=\dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})}$。为了找到$f(0,y)$，我们可以对$\dfrac {\partial f}{\partial y}(0,y)$进行不定积分：
$$
\int \dfrac {\partial f}{\partial y}(0,y)dy = \int \dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})}dy
$$
这个积分可以通过部分分式分解来求解：
$$
\dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})} = \dfrac {A}{{e}^{y}} + \dfrac {B}{1+{e}^{y}}
$$
解得$A=1$，$B=-1$，所以
$$
\int \dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})}dy = \int \left(\dfrac {1}{{e}^{y}} - \dfrac {1}{1+{e}^{y}}\right)dy = -{e}^{-y} - \ln (1+{e}^{-y}) + C
$$
其中$C$是积分常数。由于$f(0,0)=\ln 2-1$，我们可以确定$C$的值：
$$
f(0,0) = -{e}^{0} - \ln (1+{e}^{0}) + C = -1 - \ln 2 + C = \ln 2 - 1
$$
解得$C=2\ln 2$。因此，$f(0,y) = -{e}^{-y} - \ln (1+{e}^{-y}) + 2\ln 2$。
步骤 3：求解$f(x,y)$
由于$f(x,y) = f(0,y-x)$，我们得到
$$
f(x,y) = -{e}^{-(y-x)} - \ln (1+{e}^{-(y-x)}) + 2\ln 2
$$
这就是函数$f(x,y)$的表达式。
根据题目条件，我们有二元函数$f(x,y)$的一阶连续偏导数满足$\dfrac {\partial f}{\partial x}(x,y)+\dfrac {\partial f}{\partial y}(x,y)=0$。这是一个一阶线性偏微分方程，我们可以利用特征线法来求解。特征线方程由$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\partial f/\partial y}{\partial f/\partial x}$得出，即
$$
\frac{dy}{dx} = -1
$$
解得特征线方程为
$$
x + y = c
$$
其中$c$是常数。
步骤 2：求解$f(0,y)$
由于$f(x,y)$在特征线上是常数，我们有$f(x,y) = f(0,y-x)$。接下来，我们需要找到$f(0,y)$的表达式。根据题目给出的条件，我们有$\dfrac {\partial f}{\partial y}(0,y)=\dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})}$。为了找到$f(0,y)$，我们可以对$\dfrac {\partial f}{\partial y}(0,y)$进行不定积分：
$$
\int \dfrac {\partial f}{\partial y}(0,y)dy = \int \dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})}dy
$$
这个积分可以通过部分分式分解来求解：
$$
\dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})} = \dfrac {A}{{e}^{y}} + \dfrac {B}{1+{e}^{y}}
$$
解得$A=1$，$B=-1$，所以
$$
\int \dfrac {1}{{e}^{y}(1+{e}^{y})}dy = \int \left(\dfrac {1}{{e}^{y}} - \dfrac {1}{1+{e}^{y}}\right)dy = -{e}^{-y} - \ln (1+{e}^{-y}) + C
$$
其中$C$是积分常数。由于$f(0,0)=\ln 2-1$，我们可以确定$C$的值：
$$
f(0,0) = -{e}^{0} - \ln (1+{e}^{0}) + C = -1 - \ln 2 + C = \ln 2 - 1
$$
解得$C=2\ln 2$。因此，$f(0,y) = -{e}^{-y} - \ln (1+{e}^{-y}) + 2\ln 2$。
步骤 3：求解$f(x,y)$
由于$f(x,y) = f(0,y-x)$，我们得到
$$
f(x,y) = -{e}^{-(y-x)} - \ln (1+{e}^{-(y-x)}) + 2\ln 2
$$
这就是函数$f(x,y)$的表达式。