微分方程 xy'' + y' = 0 的通解为(）.A. y = C_1 ln x + C_2B. y = C_1 ln |x| + C_2C. y = C_1 x + C_2D. y = (C_1)/(x) + C_2

本题考查可降阶的二阶微分方程的求解。解题思路是通过换元法将二阶微分方程降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，最后再积分得到原方程的通解。

1. 令$y' = p$，将二阶微分方程降为一阶微分方程：
   对$y' = p$两边关于$x$求导，根据求导公式$(p)^\prime=\frac{dp}{dx}$，可得$y'' = \frac{dp}{dx}$。
   将$y' = p$和$y'' = \frac{dp}{dx}$代入原方程$xy'' + y' = 0$，得到$x\frac{dp}{dx} + p = 0$。
2. 求解一阶微分方程$x\frac{dp}{dx} + p = 0$：
   对$x\frac{dp}{dx} + p = 0$进行变形，移项可得$x\frac{dp}{dx} = -p$。
   然后将变量分离，得到$\frac{dp}{p}=-\frac{dx}{x}$。
   两边同时积分：
   $\int\frac{dp}{p}=-\int\frac{dx}{x}$
   根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C$，可得$\ln|p| = -\ln|x| + C_1$。
   为了方便后续计算，将$C_1$写成$\ln|C_1|$（$C_1\neq0$），则$\ln|p| = -\ln|x| + \ln|C_1|$。
   根据对数运算法则$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，可得$\ln|p| = \ln\frac{|C_1|}{|x|}$，所以$p = \frac{C_1}{x}$（$C_1$为任意常数）。
3. 由$p = y'$，求解$y$：
   因为$p = y'$，所以$y' = \frac{C_1}{x}$。
   两边同时积分：
   $y = \int\frac{C_1}{x}dx$
   根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$，可得$y = C_1\ln|x| + C_2$（$C_1,C_2$为任意常数）。