7.设 =0.1(e)^0.1 . =dfrac (1)(9) . =-ln 0.9, 则-|||-A. lt blt c B. lt blt a C. lt alt b D. lt clt b

本题主要考查指数函数、自然对数函数的性质及数值估算能力。解题的关键在于准确估算或比较三个表达式的值，而无需精确计算。核心思路如下：

1. 比较$a$与$b$：通过分析$e^{0.1}$与$\frac{10}{9}$的大小关系，结合泰勒展开或近似值判断；
2. 比较$c$与$a$：利用自然对数的泰勒展开或不等式，估算$- \ln 0.9$的值并与$a$比较；
3. 综合排序：结合上述比较结果确定最终顺序。

1. 比较$a$与$b$

• $a = 0.1 e^{0.1}$，$b = \frac{1}{9} \approx 0.1111$；
• 利用泰勒展开$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$（$x=0.1$时误差较小）：
  $e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} = 1.105$
  $a \approx 0.1 \times 1.105 = 0.1105$
• 进一步精确计算得$e^{0.1} \approx 1.10517$，故$a \approx 0.1 \times 1.10517 = 0.110517$；
• 比较得$a < b$。

2. 比较$c$与$a$

• $c = -\ln 0.9$，利用泰勒展开$\ln(1-x) \approx -x - \frac{x^2}{2}$（$x=0.1$）：
  $\ln 0.9 = \ln(1-0.1) \approx -0.1 - \frac{0.01}{2} = -0.105$
  $c \approx 0.105$
• 精确计算得$c \approx 0.10536$；
• 比较得$c < a$。

3. 综合排序

• 由上述结果得$c < a < b$，对应选项C。