[计算题]设随机变量X的概率密度有:-|||-[计算题]设随机变量X的概率密度有:-|||-f(x)= ^3sqrt {{x)^2}},1lt xlt 8 0, xin R .-|||-求(1)常数a;(2)分布函数F(x);(3) =3-x 求其-|||-概率密度f1(y)。

考查要点：本题主要考查概率密度函数的归一化条件、分布函数的求法以及随机变量函数的概率密度求解方法。

解题思路：

1. 求常数a：利用概率密度函数的归一性，即积分等于1，对定义域积分求解。
2. 求分布函数F(x)：分段积分概率密度函数，注意不同区间的表达式。
3. 求Y=3-X的密度f_Y(y)：通过变量变换法，结合绝对值导数公式计算。

关键点：

• 归一化条件：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$。
• 分布函数定义：$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$。
• 变量变换公式：$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |dx/dy|$。

第（1）题：求常数a

应用归一化条件

根据概率密度函数的归一性：
$\int_{1}^{8} \frac{1}{a x^{2/3}} dx = 1$

计算积分

积分计算：
$\int_{1}^{8} x^{-2/3} dx = \left[ 3x^{1/3} \right]_{1}^{8} = 3(2 - 1) = 3$

求解a

代入归一化条件：
$\frac{3}{a} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 3$

第（2）题：求分布函数F(x)

分段讨论

• 当$x \leq 1$时：$F(x) = 0$。
• 当$1 < x < 8$时：
  $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{3 t^{2/3}} dt = \frac{1}{3} \cdot 3 \left( x^{1/3} - 1 \right) = x^{1/3} - 1$
• 当$x \geq 8$时：$F(x) = 1$。

第（3）题：求Y=3-X的概率密度f_Y(y)

确定Y的范围

当$X \in (1,8)$时，$Y = 3 - X \in (-5, 2)$。

应用变量变换公式

$f_Y(y) = f_X(3 - y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{3 (3 - y)^{2/3}} \cdot 1$

最终表达式

$f_Y(y) = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{3 (3 - y)^{2/3}}, & -5 < y < 2, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$