题目

已知 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] ,=[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 且 PA = B 其中只是可逆矩阵 ) 若=[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 线性相 ( 无 ) 关则 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 线性相 ( 无 ) 关。

已知 $A=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m]$ , $B=[\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m]$ 且 PA = B 其中只是可逆矩阵 ) 若 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5$ 线性相 ( 无 ) 关则 $\beta_1,\beta_3,\beta_5$ 线性相 ( 无 ) 关。

题目解答

答案

根据已知条件，有 PA = B，其中 P 是可逆矩阵。我们要判断向量组 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5和\beta_1,\beta_3,\beta_5$ 是否线性相关。

首先，我们可以将 PA = B 展开为矩阵乘法的形式：

$[P\alpha_1,P\alpha_2,\dots,P\alpha_m]=[\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m]$

由于 P 是可逆矩阵，所以 P 的列向量线性无关。因此，我们可以得到：

$\beta_1=P\alpha_1,\beta_2=P\alpha_2,\dots,\beta_m=P\alpha_m$

接下来，我们看到只有 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5和\beta_1,\beta_3,\beta_5$ 相关。

假设 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5$ 线性无关，那么我们可以用它们作为列向量构成一个矩阵 C：

$C=[\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5]$

由于 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5$ 线性无关，所以矩阵 C 的秩为 3。

然而，根据等式 $\beta_1=P\alpha_1$ ，我们知道 $\beta_1$ 可以由 $P\alpha_1$ 表示。由于 P 是可逆矩阵，所以 P 的列向量线性无关，即 $P\alpha_1$ 是非零向量。因此， $\beta_1$ 是非零向量，且与 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5$ 相关。

这与我们的假设矛盾，说明 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5$ 必然线性相关。

同理，我们可以推出 $\beta_1,\beta_3,\beta_5$ 也必然线性相关。

综上所述，根据已知条件可得， $\beta_1,\beta_3,\beta_5$ 是线性相关的。

已知 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] ,=[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 且 PA = B 其中只是可逆 矩阵 ) 若=[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 线性相 ( 无 ) 关则 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 线性相 ( 无 ) 关。

题目解答

答案

已知 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] ,=[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 且 PA = B 其中只是可逆矩阵 ) 若=[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 线性相 ( 无 ) 关则 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),... ,(alpha )_(m)] 线性相 ( 无 ) 关。