4、f(x,y)=(x^2y^2)/(x^2)y^(2+(x-y)^2)的二重极限和二次极限各为（）A. 0，0，0B. 不存在，0，0C. 0，不存在，0D. 0，0，不存在

本题主要考查二重极限和二次极限的概念及计算方法。解题思路是分别计算函数$f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x - y)^{2}}$的二重极限和两个二次极限。

1. 计算二重极限

二重极限是指当$(x,y)$以任意方式趋近于$(0,0)$时函数的极限。
考虑让$(x,y)$沿直线$y = kx$趋近于$(0,0)$，将$y = kx$代入函数$f(x,y)$中：
$\begin{align*}\lim\limits_{x \to 0,y = kx} f(x,y)&=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^{2}(kx)^{2}}{x^{2}(kx)^{2}+(x - kx)^{2}}\\&=\lim\limits_{x \to 0} \frac{k^{2}x^{4}}{k^{2}x^{4}+(1 - k)^{2}x^{2}}\\&=\lim\limits_{x \to 0} \frac{k^{2}x^{2}}{k^{2}x^{2}+(1 - k)^{2}}\end{align*}$
当$k = 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{k^{2}x^{2}}{k^{2}x^{2}+(1 - k)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{0}{0 + 1}=0$；
当$k = 1$时，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{k^{2}x^{2}}{k^{2}x^{2}+(1 - k)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+0}=1$。
由于沿不同直线趋近于$(0,0)$时极限值不同，所以二重极限$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$不存在。

2. 计算二次极限

• 先对$y$求极限，再对$x$求极限：
  先求$\lim\limits_{y \to 0} f(x,y)$，当$x\neq0$时：
  $\begin{align*}\lim\limits_{y \to 0} f(x,y)&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x - y)^{2}}\\&=\frac{0}{0 + x^{2}}\\&=0\end{align*}$
  再求$\lim\limits_{x \to 0} \left(\lim\limits_{y \to 0} f(x,y)\right)=\lim\limits_{x \to 0} 0 = 0$。
• 先对$x$求极限，再对$y$求极限：
  先求$\lim\limits_{x \to 0} f(x,y)$，当$y\neq0$时：
  $\begin{align*}\lim\limits_{x \to 0} f(x,y)&=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x - y)^{2}}\\&=\frac{0}{0 + y^{2}}\\&=0\end{align*}$
  再求$\lim\limits_{y \to 0} \left(\lim\limits_{x \to 0} f(x,y)\right)=\lim\limits_{y \to 0} 0 = 0$。