题目
f(z)=u+iv是解析函数，其中f(z)=u+iv， 则f(z)=u+iv_______.
是解析函数，其中
， 则
_______.
题目解答
答案
解：因为是解析函数
根据柯西黎曼—方程有：
又因为
那么
那么有：
，
根据
根据
那么有：
故本题答案为：
解析
步骤 1：应用柯西-黎曼方程
解析函数$f(z)=u+iv$满足柯西-黎曼方程，即$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$。
步骤 2：计算$u$的偏导数
给定$u={x}^{2}-k{y}^{2}$，计算其偏导数$\dfrac {\partial u}{\partial x}=2x$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-2ky$。
步骤 3：应用柯西-黎曼方程求解$v$的偏导数
根据柯西-黎曼方程，有$\dfrac {\partial v}{\partial y}=2x$和$\dfrac {\partial v}{\partial x}=2ky$。
步骤 4：求解$v$
根据$\dfrac {\partial v}{\partial y}=2x$，积分得到$v=2xy+c$，其中$c$是常数。
根据$\dfrac {\partial v}{\partial x}=2ky$，积分得到$v=2kyx+c$，其中$c$是常数。
步骤 5：确定$k$的值
由于$v=2xy+c$和$v=2kyx+c$必须一致，因此$2xy=2kyx$，从而得到$k=1$。
解析函数$f(z)=u+iv$满足柯西-黎曼方程，即$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$。
步骤 2：计算$u$的偏导数
给定$u={x}^{2}-k{y}^{2}$，计算其偏导数$\dfrac {\partial u}{\partial x}=2x$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-2ky$。
步骤 3：应用柯西-黎曼方程求解$v$的偏导数
根据柯西-黎曼方程，有$\dfrac {\partial v}{\partial y}=2x$和$\dfrac {\partial v}{\partial x}=2ky$。
步骤 4：求解$v$
根据$\dfrac {\partial v}{\partial y}=2x$，积分得到$v=2xy+c$，其中$c$是常数。
根据$\dfrac {\partial v}{\partial x}=2ky$，积分得到$v=2kyx+c$，其中$c$是常数。
步骤 5：确定$k$的值
由于$v=2xy+c$和$v=2kyx+c$必须一致，因此$2xy=2kyx$，从而得到$k=1$。