题目

(3)(y^2-3x^2)dy+2xydx=0,y|_(x=0)=1.

(3)$(y^{2}-3x^{2})dy+2xydx=0$,$y|_{x=0}=1$.

题目解答

答案

为了解微分方程 $(y^2 - 3x^2)dy + 2xydx = 0$，并满足初始条件 $y|_{x=0} = 1$，我们将按照以下步骤进行： 1. **将微分方程重写为标准形式：** \[ (y^2 - 3x^2)dy + 2xydx = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{y^2 - 3x^2} \] 2. **使用替换 $y = vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函数：** \[ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \] 将 $y = vx$ 代入微分方程： \[ v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{2x(vx)}{(vx)^2 - 3x^2} = -\frac{2vx^2}{v^2x^2 - 3x^2} = -\frac{2v}{v^2 - 3} \] 简化方程： \[ v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{2v}{v^2 - 3} \] 将 $v$ 项隔离： \[ x\frac{dv}{dx} = -\frac{2v}{v^2 - 3} - v = -\frac{2v + v(v^2 - 3)}{v^2 - 3} = -\frac{v^3 - v}{v^2 - 3} = -\frac{v(v^2 - 1)}{v^2 - 3} \] 因此，我们有： \[ x\frac{dv}{dx} = -\frac{v(v^2 - 1)}{v^2 - 3} \] 分离变量： \[ \frac{v^2 - 3}{v(v^2 - 1)} dv = -\frac{dx}{x} \] 3. **对左边进行部分分式分解：** \[ \frac{v^2 - 3}{v(v^2 - 1)} = \frac{v^2 - 3}{v(v-1)(v+1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v-1} + \frac{C}{v+1} \] 两边乘以 $v(v-1)(v+1)$： \[ v^2 - 3 = A(v-1)(v+1) + Bv(v+1) + Cv(v-1) \] 简化并合并同类项： \[ v^2 - 3 = A(v^2 - 1) + B(v^2 + v) + C(v^2 - v) = (A + B + C)v^2 + (B - C)v - A \] 比较系数： \[ A + B + C = 1, \quad B - C = 0, \quad -A = -3 \] 解这些方程： \[ A = 3, \quad B = C, \quad 3 + B + B = 1 \implies 3 + 2B = 1 \implies 2B = -2 \implies B = -1, \quad C = -1 \] 因此，部分分式为： \[ \frac{v^2 - 3}{v(v^2 - 1)} = \frac{3}{v} - \frac{1}{v-1} - \frac{1}{v+1} \] 微分方程变为： \[ \left( \frac{3}{v} - \frac{1}{v-1} - \frac{1}{v+1} \right) dv = -\frac{dx}{x} \] 两边积分： \[ 3 \ln|v| - \ln|v-1| - \ln|v+1| = -\ln|x| + C \] 将对数合并： \[ \ln \left| \frac{v^3}{(v-1)(v+1)} \right| = -\ln|x| + C \implies \ln \left| \frac{v^3 x}{v^2 - 1} \right| = C \] 对两边取指数： \[ \left| \frac{v^3 x}{v^2 - 1} \right| = e^C \] 设 $e^C = K$，则： \[ \frac{v^3 x}{v^2 - 1} = K \] 将 $v = \frac{y}{x}$ 代回： \[ \frac{\left( \frac{y}{x} \right)^3 x}{\left( \frac{y}{x} \right)^2 - 1} = K \implies \frac{\frac{y^3}{x^2}}{\frac{y^2 - x^2}{x^2}} = K \implies \frac{y^3}{y^2 - x^2} = K \] 使用初始条件 $y|_{x=0} = 1$： \[ \frac{1^3}{1^2 - 0^2} = K \implies K = 1 \] 因此，解为： \[ \frac{y^3}{y^2 - x^2} = 1 \implies y^3 = y^2 - x^2 \implies y^3 - y^2 + x^2 = 0 \] 最终答案是： \[ \boxed{y^3 - y^2 + x^2 = 0} \]

解析

考查要点：本题主要考查一阶齐次微分方程的解法，涉及变量替换法和部分分式分解的应用。

解题核心思路：

  1. 识别方程类型：将原方程整理为齐次方程形式，通过变量替换 $y = vx$ 简化方程。
  2. 分离变量：将方程转化为关于 $v$ 和 $x$ 的可分离变量方程。
  3. 积分求解：通过部分分式分解对复杂分式进行积分，最终结合初始条件确定常数。

破题关键点：

  • 变量替换的选择是关键，需正确代入并整理方程。
  • 部分分式分解的步骤需细致，避免代数错误。
  • 初始条件的代入需注意分母是否为零，确保解的合理性。

步骤1：整理方程为标准形式

原方程：
$(y^2 - 3x^2)dy + 2xydx = 0$
整理为微分形式：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{y^2 - 3x^2}$

步骤2：变量替换

设 $y = vx$，则 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$。代入方程得：
$v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{2v}{v^2 - 3}$
整理后分离变量：
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{v(v^2 - 1)}{v^2 - 3} \implies \frac{v^2 - 3}{v(v^2 - 1)}dv = -\frac{dx}{x}$

步骤3：部分分式分解

将左边分式分解为：
$\frac{v^2 - 3}{v(v-1)(v+1)} = \frac{3}{v} - \frac{1}{v-1} - \frac{1}{v+1}$

步骤4：积分求解

两边积分得：
$3\ln|v| - \ln|v-1| - \ln|v+1| = -\ln|x| + C$
合并对数项并化简：
$\ln\left|\frac{v^3 x}{v^2 - 1}\right| = C \implies \frac{v^3 x}{v^2 - 1} = K$

步骤5：代入初始条件

将 $y|_{x=0}=1$ 代入 $v = \frac{y}{x}$，当 $x=0$ 时，$v$ 趋于无穷大，但通过极限分析可得 $K=1$。最终解为：
$y^3 - y^2 + x^2 = 0$