题目
计算不定积分int (e)^xln (1+dfrac (1)(sqrt {{e)^x-1}})dx,-|||-__
计算不定积分
题目解答
答案
对于不定积分
是
的一个原函数
由此求出不定积分的结果
解析
步骤 1：换元
设$u = {e}^{x} - 1$，则$du = {e}^{x}dx$，且${e}^{x} = u + 1$。
步骤 2：代入
将$u$代入原积分，得到$\int \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})(u+1)du$。
步骤 3：分部积分
设$v = \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})$，$dw = (u+1)du$，则$dv = -\dfrac {1}{2u\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})}du$，$w = \dfrac {1}{2}u^2 + u$。
步骤 4：计算
根据分部积分公式$\int vdw = vw - \int wdv$，得到$\int \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})(u+1)du = (\dfrac {1}{2}u^2 + u)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}}) - \int (\dfrac {1}{2}u^2 + u)(-\dfrac {1}{2u\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})})du$。
步骤 5：简化
化简得到$\int \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})(u+1)du = (\dfrac {1}{2}u^2 + u)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}}) + \int \dfrac {1}{2\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})}du$。
步骤 6：计算
计算得到$\int \dfrac {1}{2\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})}du = \int \dfrac {1}{2\sqrt {u} + 2}du = \dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{\sqrt {u} + 1}du$。
步骤 7：换元
设$t = \sqrt {u} + 1$，则$dt = \dfrac {1}{2\sqrt {u}}du$，且$\sqrt {u} = t - 1$。
步骤 8：代入
将$t$代入原积分，得到$\dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{t}dt$。
步骤 9：计算
计算得到$\dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{t}dt = \dfrac {1}{2}\ln |t| + C$。
步骤 10：回代
将$t$回代，得到$\dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {u} + 1| + C$。
步骤 11：回代
将$u$回代，得到$\dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
步骤 12：合并
合并得到$(\dfrac {1}{2}u^2 + u)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}}) + \dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
步骤 13：回代
将$u$回代，得到$(\dfrac {1}{2}({e}^{x} - 1)^2 + {e}^{x} - 1)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {{e}^{x} - 1}}) + \dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
步骤 14：简化
化简得到${e}^{x}\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {{e}^{x} - 1}}) - {e}^{x} + \dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
设$u = {e}^{x} - 1$，则$du = {e}^{x}dx$，且${e}^{x} = u + 1$。
步骤 2：代入
将$u$代入原积分，得到$\int \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})(u+1)du$。
步骤 3：分部积分
设$v = \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})$，$dw = (u+1)du$，则$dv = -\dfrac {1}{2u\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})}du$，$w = \dfrac {1}{2}u^2 + u$。
步骤 4：计算
根据分部积分公式$\int vdw = vw - \int wdv$，得到$\int \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})(u+1)du = (\dfrac {1}{2}u^2 + u)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}}) - \int (\dfrac {1}{2}u^2 + u)(-\dfrac {1}{2u\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})})du$。
步骤 5：简化
化简得到$\int \ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})(u+1)du = (\dfrac {1}{2}u^2 + u)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}}) + \int \dfrac {1}{2\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})}du$。
步骤 6：计算
计算得到$\int \dfrac {1}{2\sqrt {u}(1+\dfrac {1}{\sqrt {u}})}du = \int \dfrac {1}{2\sqrt {u} + 2}du = \dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{\sqrt {u} + 1}du$。
步骤 7：换元
设$t = \sqrt {u} + 1$，则$dt = \dfrac {1}{2\sqrt {u}}du$，且$\sqrt {u} = t - 1$。
步骤 8：代入
将$t$代入原积分，得到$\dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{t}dt$。
步骤 9：计算
计算得到$\dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{t}dt = \dfrac {1}{2}\ln |t| + C$。
步骤 10：回代
将$t$回代，得到$\dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {u} + 1| + C$。
步骤 11：回代
将$u$回代，得到$\dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
步骤 12：合并
合并得到$(\dfrac {1}{2}u^2 + u)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {u}}) + \dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
步骤 13：回代
将$u$回代，得到$(\dfrac {1}{2}({e}^{x} - 1)^2 + {e}^{x} - 1)\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {{e}^{x} - 1}}) + \dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。
步骤 14：简化
化简得到${e}^{x}\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {{e}^{x} - 1}}) - {e}^{x} + \dfrac {1}{2}\ln |\sqrt {{e}^{x} - 1} + 1| + C$。