求指导本题解题过程，谢谢您！12.当λ取何值时,齐次线性方程组-|||- ) (x)_(1)+2(x)_(2)+(x)_(3)=0 4(x)_(1)+5(x)_(2)+lambda (x)_(3)=0 3(x)_(1)+7(x)_(2)+2(x)_(3)=0 .-|||-有非零解?在有非零解的情况下求方程组的通解.

步骤 1：判断方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于0。因此，我们需要计算系数矩阵的行列式，并令其等于0，以求出λ的值。
步骤 2：计算行列式
系数矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & \lambda \\
3 & 7 & 2
\end{pmatrix}
$$
行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & \lambda \\
3 & 7 & 2
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：求解行列式等于0的λ值
行列式展开计算：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & \lambda \\
3 & 7 & 2
\end{vmatrix}
= 1 \cdot \begin{vmatrix}
5 & \lambda \\
7 & 2
\end{vmatrix}
- 2 \cdot \begin{vmatrix}
4 & \lambda \\
3 & 2
\end{vmatrix}
+ 1 \cdot \begin{vmatrix}
4 & 5 \\
3 & 7
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \cdot (5 \cdot 2 - \lambda \cdot 7) - 2 \cdot (4 \cdot 2 - \lambda \cdot 3) + 1 \cdot (4 \cdot 7 - 5 \cdot 3)
$$
$$
= 10 - 7\lambda - 2(8 - 3\lambda) + 1(28 - 15)
$$
$$
= 10 - 7\lambda - 16 + 6\lambda + 13
$$
$$
= -\lambda + 7
$$
令行列式等于0，得到：
$$
-\lambda + 7 = 0
$$
解得：
$$
\lambda = 7
$$
步骤 4：求解方程组的通解
当λ=7时，方程组变为：
$$
\left \{ \begin{matrix}
{x}_{1}+2{x}_{2}+{x}_{3}=0\\
4{x}_{1}+5{x}_{2}+7{x}_{3}=0\\
3{x}_{1}+7{x}_{2}+2{x}_{3}=0
\end{matrix} \right.
$$
将系数矩阵化为阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & 7 \\
3 & 7 & 2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & 3 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
得到方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix}
{x}_{1}+2{x}_{2}+{x}_{3}=0\\
{x}_{2}-{x}_{3}=0
\end{matrix} \right.
$$
令$x_{3}=t$，则$x_{2}=t$，$x_{1}=-3t$，通解为：
$$
x = t \begin{pmatrix}
-3 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
$$