题目

五阶行列式let(aij)中的项let(aij)和let(aij)各带什么符号？

五阶行列式 $\det(a_{ij})$ 中的项 $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}a_{55}$ 和 $a_{23}a_{31}a_{42}a_{54}a_{15}$ 各带什么符号？

题目解答

答案

（1） $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}a_{55}$ ，因该项的行下标为自然排列，故考虑列下标排列的逆序数。因 $r(23415)=1+1+1+0=3$ ，列的逆序数为奇数，故该项应带负号。

（2） $a_{23}a_{31}a_{42}a_{54}a_{15}$ ，分別计算行的逆序数和列的逆序数，并求和。因 $\tau\left(23451\right)+\tau(31245)=4+2=6$ ，逆序数为偶数，故该项应带正号。

解析

步骤 1：确定项12a23a 34a41a55的符号
- 项12a23a 34a41a55的行下标为自然排列，即1,2,3,4,5，因此行下标排列的逆序数为0。
- 列下标为2,3,4,1,5，计算列下标排列的逆序数：(23415) = 1+1+1+0 = 3，列的逆序数为奇数。
- 因此，该项应带负号。

步骤 2：确定项233a31a42 a54a15的符号
- 项233a31a42 a54a15的行下标为2,3,4,5,1，计算行下标排列的逆序数：(23451) = 4。
- 列下标为3,1,2,4,5，计算列下标排列的逆序数：(31245) = 2。
- 行和列的逆序数之和为4+2=6，逆序数为偶数。
- 因此，该项应带正号。