长为L的金属细杆ab与载有电流的无限长直导线共面,且绕端点a以角速度 在公共平面内转动,如图5-8所示 。当细杆转到与水平线夹角为 时,求ab两点的电势差。

考查要点：本题主要考查动生电动势的计算，涉及电磁感应中的导体在磁场中运动产生的电势差。关键在于理解非静电场力做功导致电势差的产生，并掌握磁场分布和速度场分布的积分方法。

解题核心思路：

1. 确定磁场分布：无限长直导线产生的磁场为 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$，其中 $r$ 是到导线的距离。
2. 分析速度场：杆上各点绕端点 $a$ 转动，线速度 $v = \omega x$（$x$ 为到 $a$ 的距离）。
3. 计算微小电动势：动生电动势 $dE = vB \, dx$，需积分杆全长。
4. 几何关系处理：结合杆转动角度 $\theta$，建立各点到直导线距离的表达式 $r = r_0 + x \cos\theta$。

破题关键：正确表达各点磁场与速度的乘积，并通过变量代换完成积分。

磁场与速度分析

1. 磁场分布：直导线电流为 $I$，杆上任一点到导线距离为 $r = r_0 + x \cos\theta$，对应磁场大小为
   $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi (r_0 + x \cos\theta)}.$

2. 速度分布：杆上距 $a$ 点 $x$ 处的线速度为
   $v = \omega x.$

微小电动势计算

动生电动势微元为
$dE = vB \, dx = \dfrac{\mu_0 I \omega x}{2\pi (r_0 + x \cos\theta)} \, dx.$

积分求总电动势

总电动势为积分：
$V_{ab} = \int_0^L \dfrac{\mu_0 I \omega x}{2\pi (r_0 + x \cos\theta)} \, dx.$

变量代换：令 $u = r_0 + x \cos\theta$，则 $x = \dfrac{u - r_0}{\cos\theta}$，$dx = \dfrac{du}{\cos\theta}$，积分限变为 $u = r_0$ 到 $u = r_0 + L \cos\theta$。代入后：
$\begin{aligned}V_{ab} &= \dfrac{\mu_0 I \omega}{2\pi \cos^2\theta} \int_{r_0}^{r_0 + L \cos\theta} \dfrac{u - r_0}{u} \, du \\&= \dfrac{\mu_0 I \omega}{2\pi \cos^2\theta} \left[ \int_{r_0}^{r_0 + L \cos\theta} 1 \, du - r_0 \int_{r_0}^{r_0 + L \cos\theta} \dfrac{1}{u} \, du \right].\end{aligned}$

逐项计算：

1. 第一项：$\displaystyle \int_{r_0}^{r_0 + L \cos\theta} 1 \, du = L \cos\theta$；
2. 第二项：$\displaystyle \int_{r_0}^{r_0 + L \cos\theta} \dfrac{1}{u} \, du = \ln \dfrac{r_0 + L \cos\theta}{r_0}$。

最终结果：
$V_{ab} = \dfrac{\mu_0 I \omega}{2\pi \cos^2\theta} \left( L \cos\theta - r_0 \ln \dfrac{r_0 + L \cos\theta}{r_0} \right).$