题目

下列选项中与“向量组B:beta_1,beta_2,...,beta_m能由向量组A:alpha_1,alpha_2,...,alpha_n线性表示”等价的是(）. A 矩阵方程AX=B无解 B R A. < R(A,B) C 向量组A:alpha_1,alpha_2,...,alpha_n与B:alpha_1,alpha_2,...,alpha_n,beta_1,beta_2,...,beta_m等价 D RA. >R(A,B)

下列选项中与“向量组$B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$能由向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示”等价的是(）.

A 矩阵方程$AX=B$无解

B $R

  • A. < R(A,B)$

    C 向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与$B:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$等价

    D $R
  • A. >R(A,B)$

题目解答

答案

向量组 $ B $ 能由向量组 $ A $ 线性表示的充要条件是矩阵方程 $ AX = B $ 有解，即 $ R(A) = R(A, B) $。 分析选项： - (A) $ AX = B $ 无解，即 $ R(A) < R(A, B) $，与条件矛盾。 - (B) $ R(A) < R(A, B) $，无解，排除。 - (C) 向量组 $ A $ 与 $ B $ 等价，即 $ B $ 中每个向量可由 $ A $ 线性表示，符合题意。 - (D) $ R(A) > R(A, B) $，不可能，排除。 **答案：** $\boxed{C}$ **解析：** 向量组 $ B $ 能由 $ A $ 线性表示，等价于 $ R(A) = R(A, B) $，即 $ B $ 中每个向量可由 $ A $ 线性组合。选项 (C) 表明 $ A $ 和 $ B $ 等价，即生成相同的空间，符合题意。其他选项均与条件矛盾。 答案：$\boxed{C}$

解析

步骤 1：理解向量组线性表示的条件
向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示的充要条件是矩阵方程 $AX = B$ 有解，即 $R(A) = R(A, B)$。其中，$R(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩，$R(A, B)$ 表示增广矩阵 $(A, B)$ 的秩。

步骤 2：分析选项
- (A) $AX = B$ 无解，即 $R(A) < R(A, B)$，与条件矛盾。
- (B) $R(A) < R(A, B)$，无解，排除。
- (C) 向量组 $A$ 与 $B$ 等价，即 $B$ 中每个向量可由 $A$ 线性表示，符合题意。
- (D) $R(A) > R(A, B)$，不可能，排除。

步骤 3：确定正确答案
根据上述分析，选项 (C) 符合题意，即向量组 $A$ 与 $B$ 等价，即 $B$ 中每个向量可由 $A$ 线性表示。