5.已知函数f(x,y)=}(x^2+y^2)cdotsin(1)/(xy),&xyneq0,0,&xy=0,则在点(0,0)处A. (partial f(x,y))/(partial x)连续，f(x,y)可微.B. (partial f(x,y))/(partial x)连续，f(x,y)不可微.C. (partial f(x,y))/(partial x)不连续，f(x,y)可微.D. (partial f(x,y))/(partial x)不连续，f(x,y)不可微.

考查要点：本题主要考查多元函数在某点处偏导数的连续性以及可微性的判断。需要掌握偏导数的定义、连续性判断方法，以及可微的定义和验证步骤。

解题核心思路：

1. 计算偏导数：首先计算函数在(0,0)处的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$和$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$，并验证其存在性。
2. 判断偏导数连续性：分析当点$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$是否趋近于$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$，若存在不同路径导致极限不同，则偏导数不连续。
3. 判断可微性：根据可微的定义，验证误差项是否为高阶无穷小，即极限是否为0。

破题关键点：

• 偏导数的计算：注意分段函数在边界点的导数需用定义计算。
• 路径法判断极限存在性：通过选取不同路径趋近于$(0,0)$，发现偏导数的极限不存在，从而证明不连续。
• 可微性的验证：利用误差项的有界性和夹逼定理，证明可微。

计算偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$

根据偏导数定义：
$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0.$

分析$\frac{\partial f}{\partial x}$的连续性

当$xy \neq 0$时，计算$\frac{\partial f}{\partial x}$：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin\left(\frac{1}{xy}\right) - \frac{x^2 + y^2}{x^2 y} \cos\left(\frac{1}{xy}\right).$
沿路径$y = kx$趋近于$(0,0)$，代入得：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin\left(\frac{1}{k x^2}\right) - \frac{1 + k^2}{k x^2} \cos\left(\frac{1}{k x^2}\right).$
当$x \to 0$时，第一项趋近于0，但第二项因$\frac{1}{x^2}$的存在振荡发散，极限不存在。因此，$\frac{\partial f}{\partial x}$在$(0,0)$处不连续。

判断可微性

可微的定义要求：
$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) h - \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0.$
代入$f(h,k) = (h^2 + k^2) \sin\left(\frac{1}{hk}\right)$（当$hk \neq 0$时）和偏导数为0，得：
$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{(h^2 + k^2) \sin\left(\frac{1}{hk}\right)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \sqrt{h^2 + k^2} \cdot \sin\left(\frac{1}{hk}\right).$
因$\left|\sin\left(\frac{1}{hk}\right)\right| \leq 1$，故极限为0，函数在$(0,0)$处可微。