【12】设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：int_(a)^bxf(x)dxgeqslant(a+b)/(2)int_(a)^bf(x)dx.

本题主要考察利用函数的单调性证明积分不等式，核心思路是通过构造辅助函数，结合函数单调性分析辅助函数的非负性或导数非负性，进而推导出不等式结论，具体如下：

方法一：构造辅助函数利用非负性

思路：通过构造一个非负函数的积分，转化为待证不等式。

1. 构造辅助函数：定义 $\varphi(x) = \left(x - \frac{a+b}{2}\right)\left[f(x) - f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]$，其中 $\frac{a+b}{2}$ 是区间 $[a,b]$ 的中点。
2. 分析非负性：
   • 若 $x \geq \frac{a+b}{2}$，则 $x - \frac{a+b}{2} \geq 0$，且 $f(x)$ 单调增加，故 $f(x) - f\left(\frac{a+b}{2}\right) \geq 0$，因此 $\varphi(x) \geq 0$；
   • 若 $x < \frac{a+b}{2}$，则 $x - \frac{a+b}{2} < 0$，且 $f(x) - f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$，因此 $\varphi(x) = (\text{负})(\text{负}) \geq 0$。
     综上，$\varphi(x) \geq 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。
3. 积分不等式：对 $\varphi(x)$ 积分得 $\int_{a}^{b} \varphi(x)dx \geq 0$，展开积分：
   $\int_{a}^{b} \left(x - \frac{a+b}{2}\right)f(x)dx - f\left(\frac{a+b}{2}\right)\int_{a}^{b} \left(x - \frac{a+b}{2}\right)dx \geq 0$
   第二项积分中，$\int_{a}^{b} \left(x - \frac{a+b}{2}\right)dx = 0$（奇函数在对称区间积分），故化简为：
   $\int_{a}^{b} \left(x - \frac{a+b}{2}\right)f(x)dx \geq 0 \implies \int_{a}^{b} xf(x)dx \geq \frac{a+b}{2}\int_{a}^{b} f(x)dx$

方法二：定义函数求导分析单调性

思路：通过构造关于上限的函数，利用导数判断其单调性，由 $\varphi(a)=0$ 推得 $\varphi(b) \geq 0$。

1. 构造函数：令 $\varphi(x) = \int_{a}^{x} tf(t)dt - \frac{a+x}{2}\int_{a}^{x} f(t)dt$，则 $\varphi(a) = 0$（积分上下限相等）。
2. 求导分析：对 $\varphi(x)$ 求导：
   $\varphi'(x) = xf(x) - \frac{1}{2}\int_{a}^{x} f(t)dt - \frac{a+x}{2}f(x) = \frac{1}{2}\left[(x - a)f(x) - \int_{a}^{x} f(t)dt\right]$
   由积分中值定理，$\int_{a}^{x} f(t)dt = f(\xi)(x - a)$（$\xi \in [a,x]$），因 $f(x)$ 单调增加，$f(x) \geq f(\xi)$，故：
   $(x - a)f(x) - \int_{a}^{x} f(t)dt = (x - a)(f(x) - f(\xi)) \geq 0 \implies \varphi'(x) \geq 0$
3. 单调性结论：$\varphi'(x) \geq 0$ 说明 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 单调不减，又 $\varphi(a)=0$，故 $\varphi(b) \geq 0$，即：
   $\int_{a}^{b} xf(x)dx \geq \frac{a+b}{2}\int_{a}^{b} f(x)dx$