填空题（共5题，20.0分）22. (4.0分) 设L为逆时针绕行圆心为原点，半径为a的上半圆周，则int_(L)(x+2y)dx= (π用pi表示)第1空请输入答案

为了计算积分$\int_{L}(x+2y)dx$，其中$L$是逆时针绕行圆心为原点，半径为$a$的上半圆周，我们首先对圆周进行参数化。上半圆周可以表示为： \[ x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad t \in [0, \pi]. \] 接下来，我们需要找到$dx$关于$t$的表达式。对$x = a \cos t$关于$t$求导，得到： \[ dx = -a \sin t \, dt. \] 现在，将$x = a \cos t$，$y = a \sin t$，和$dx = -a \sin t \, dt$代入积分中，我们有： \[ \int_{L} (x + 2y) \, dx = \int_{0}^{\pi} (a \cos t + 2a \sin t) (-a \sin t) \, dt. \] 我们可以从积分中提取常数$a$： \[ \int_{0}^{\pi} (a \cos t + 2a \sin t) (-a \sin t) \, dt = -a^2 \int_{0}^{\pi} (\cos t + 2 \sin t) \sin t \, dt. \] 接下来，我们展开被积函数： \[ (\cos t + 2 \sin t) \sin t = \cos t \sin t + 2 \sin^2 t. \] 因此，积分变为： \[ -a^2 \int_{0}^{\pi} (\cos t \sin t + 2 \sin^2 t) \, dt. \] 我们可以将这个积分拆分为两个积分： \[ -a^2 \left( \int_{0}^{\pi} \cos t \sin t \, dt + 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt \right). \] 首先，我们计算$\int_{0}^{\pi} \cos t \sin t \, dt$。使用代换$u = \sin t$，所以$du = \cos t \, dt$，当$t = 0$时，$u = 0$，当$t = \pi$时，$u = 0$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{\pi} \cos t \sin t \, dt = \int_{0}^{0} u \, du = 0. \] 接下来，我们计算$\int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt$。使用恒等式$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$，我们有： \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) \, dt. \] 我们可以将这个积分拆分为两个积分： \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) \, dt = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \, dt - \int_{0}^{\pi} \cos 2t \, dt \right) = \frac{1}{2} \left( t \bigg|_{0}^{\pi} - \frac{1}{2} \sin 2t \bigg|_{0}^{\pi} \right) = \frac{1}{2} \left( \pi - 0 \right) = \frac{\pi}{2}. \] 将这些结果代回原积分中，我们得到： \[ -a^2 \left( 0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -a^2 \pi. \] 因此，积分的值为： \[ \boxed{-\pi a^2}. \]