题目
19.设数列(xn)满足 lt (x)_(1)lt pi , _(n+1)=sin (x)_(n)(n=1,2,... )-|||-(1)证明limxn存在,并求之;-|||-(2)计算 lim _(narrow infty )((dfrac {{x)_(n+1)}({x)_(n)})}^dfrac (1{{x)_(n)}}
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明数列{xn}的极限存在
首先，我们注意到 $0 < x_1 < \pi$，并且 $x_{n+1} = \sin x_n$。由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的值域为 $[0, 1]$，所以 $0 < x_{n+1} \leq 1$。因此，数列 $\{x_n\}$ 被限制在 $[0, 1]$ 内。
接下来，我们证明数列 $\{x_n\}$ 是单调递减的。由于 $0 < x_n \leq 1$，我们有 $\sin x_n < x_n$，因此 $x_{n+1} < x_n$。所以数列 $\{x_n\}$ 是单调递减的。
由于数列 $\{x_n\}$ 被限制在 $[0, 1]$ 内且单调递减，根据单调有界原理，数列 $\{x_n\}$ 必有极限。设 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$，则有 $L = \sin L$。解方程 $L = \sin L$，得到 $L = 0$。
步骤 2：计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}})}^{\dfrac {1}{{{x}_{n}}^{2}}}$
由于 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，我们有 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x_n}{x_n} = 1$。因此，我们需要计算 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x_{n+1} - x_n}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$。
由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} - x_n}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x_n - x_n}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1}{6}x_n^3 + o(x_n^3)}{x_n} = -\frac{1}{6}x_n^2$，我们有 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{6}x_n^2\right)^{\frac{1}{x_n^2}} = e^{-\frac{1}{6}}$。
首先，我们注意到 $0 < x_1 < \pi$，并且 $x_{n+1} = \sin x_n$。由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的值域为 $[0, 1]$，所以 $0 < x_{n+1} \leq 1$。因此，数列 $\{x_n\}$ 被限制在 $[0, 1]$ 内。
接下来，我们证明数列 $\{x_n\}$ 是单调递减的。由于 $0 < x_n \leq 1$，我们有 $\sin x_n < x_n$，因此 $x_{n+1} < x_n$。所以数列 $\{x_n\}$ 是单调递减的。
由于数列 $\{x_n\}$ 被限制在 $[0, 1]$ 内且单调递减，根据单调有界原理，数列 $\{x_n\}$ 必有极限。设 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$，则有 $L = \sin L$。解方程 $L = \sin L$，得到 $L = 0$。
步骤 2：计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}})}^{\dfrac {1}{{{x}_{n}}^{2}}}$
由于 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，我们有 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x_n}{x_n} = 1$。因此，我们需要计算 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x_{n+1} - x_n}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$。
由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} - x_n}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x_n - x_n}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1}{6}x_n^3 + o(x_n^3)}{x_n} = -\frac{1}{6}x_n^2$，我们有 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{6}x_n^2\right)^{\frac{1}{x_n^2}} = e^{-\frac{1}{6}}$。