题目
若lim _(xarrow 0)dfrac (sin x)({e)^x-a}(cos x-b)=5，则a=(),b=()
若
，则a=(),b=()
题目解答
答案
由
知
从而a=1,
而
解得b=-4,
综上所述,本题答案为1; -4。
解析
步骤 1：确定极限条件
由题意知，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{{e}^{x}-a}(\cos x-b)=5$，首先需要确定极限条件，即当$x\rightarrow 0$时，$\sin x$和$\cos x$的极限值。$\sin x$在$x\rightarrow 0$时的极限为0，$\cos x$在$x\rightarrow 0$时的极限为1。
步骤 2：确定$a$的值
由于$\sin x$在$x\rightarrow 0$时的极限为0，要使整个表达式的极限存在且不为无穷大，分母${e}^{x}-a$在$x\rightarrow 0$时的极限也必须为0。因此，${e}^{0}-a=0$，解得$a=1$。
步骤 3：确定$b$的值
将$a=1$代入原极限表达式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{{e}^{x}-1}(\cos x-b)=5$。由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{{e}^{x}-1}=1$（这是基于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$和$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$的性质），因此原极限表达式简化为$\lim _{x\rightarrow 0}(\cos x-b)=5$。由于$\cos x$在$x\rightarrow 0$时的极限为1，因此$1-b=5$，解得$b=-4$。
由题意知，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{{e}^{x}-a}(\cos x-b)=5$，首先需要确定极限条件，即当$x\rightarrow 0$时，$\sin x$和$\cos x$的极限值。$\sin x$在$x\rightarrow 0$时的极限为0，$\cos x$在$x\rightarrow 0$时的极限为1。
步骤 2：确定$a$的值
由于$\sin x$在$x\rightarrow 0$时的极限为0，要使整个表达式的极限存在且不为无穷大，分母${e}^{x}-a$在$x\rightarrow 0$时的极限也必须为0。因此，${e}^{0}-a=0$，解得$a=1$。
步骤 3：确定$b$的值
将$a=1$代入原极限表达式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{{e}^{x}-1}(\cos x-b)=5$。由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{{e}^{x}-1}=1$（这是基于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$和$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$的性质），因此原极限表达式简化为$\lim _{x\rightarrow 0}(\cos x-b)=5$。由于$\cos x$在$x\rightarrow 0$时的极限为1，因此$1-b=5$，解得$b=-4$。