题目
计算曲线积分int_(L)(x^2+y^2)^3ds，其中L为圆周x=acos t,y=asin t(0leq tleq 2pi)。A. 2pi a^8B. 2pi a^5C. 2pi a^6D. 2pi a^7
计算曲线积分$\int_{L}(x^{2}+y^{2})^{3}ds$，其中$L$为圆周$x=a\cos t,y=a\sin t(0\leq t\leq 2\pi)$。
A. $2\pi a^{8}$
B. $2\pi a^{5}$
C. $2\pi a^{6}$
D. $2\pi a^{7}$
题目解答
答案
D. $2\pi a^{7}$
解析
步骤 1：参数方程与微分弧长
给定圆周的参数方程为$x = a \cos t$，$y = a \sin t$（$0 \le t \le 2\pi$），我们首先计算微分弧长$ds$。根据参数方程，$ds$可以表示为$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt$。计算$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$，我们得到$\frac{dx}{dt} = -a \sin t$，$\frac{dy}{dt} = a \cos t$。因此，$ds = \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2} \, dt = a \, dt$。
步骤 2：计算$x^2 + y^2$
根据给定的参数方程，$x^2 + y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$。因此，$(x^2 + y^2)^3 = a^6$。
步骤 3：代入曲线积分
将$x^2 + y^2$的表达式和$ds$的表达式代入曲线积分$\int_{L}(x^{2}+y^{2})^{3}ds$，我们得到$\int_{0}^{2\pi} a^6 \cdot a \, dt = \int_{0}^{2\pi} a^7 \, dt$。计算这个积分，我们得到$2\pi a^7$。
给定圆周的参数方程为$x = a \cos t$，$y = a \sin t$（$0 \le t \le 2\pi$），我们首先计算微分弧长$ds$。根据参数方程，$ds$可以表示为$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt$。计算$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$，我们得到$\frac{dx}{dt} = -a \sin t$，$\frac{dy}{dt} = a \cos t$。因此，$ds = \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2} \, dt = a \, dt$。
步骤 2：计算$x^2 + y^2$
根据给定的参数方程，$x^2 + y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$。因此，$(x^2 + y^2)^3 = a^6$。
步骤 3：代入曲线积分
将$x^2 + y^2$的表达式和$ds$的表达式代入曲线积分$\int_{L}(x^{2}+y^{2})^{3}ds$，我们得到$\int_{0}^{2\pi} a^6 \cdot a \, dt = \int_{0}^{2\pi} a^7 \, dt$。计算这个积分，我们得到$2\pi a^7$。