4. 已知 R^3 中向量组 I：alpha_(1)=(1,2,3)^T,alpha_(2)=(1,0,1)^T 和向量组 II：beta_(1)=(-1,2,a)^T,beta_(2)=(4,1,5)^T 等价，则常数a满足____；

考查要点：本题主要考查向量组等价的条件及矩阵秩的应用。
解题思路：

1. 向量组等价的条件是两个向量组可以互相线性表示，即它们的秩相等，且合并后的矩阵秩等于各自的秩。
2. 分别求向量组I和II的秩，确保它们的秩相等。
3. 将两个向量组合并成矩阵，通过行变换求秩，确定参数$a$的值，使得合并后的矩阵秩与原向量组的秩一致。

步骤1：求向量组I的秩

构造矩阵$A = [\alpha_1, \alpha_2]$：
$A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\2 & 0 \\3 & 1\end{bmatrix}$
通过行变换化简：

1. 第二行减$2$倍第一行：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$，得$[0, -2]$
2. 第三行减$3$倍第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$，得$[0, -2]$
3. 第三行减第二行：$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$，得$[0, 0]$
   最终矩阵秩为$2$，故向量组I的秩为2。

步骤2：求向量组II的秩

构造矩阵$B = [\beta_1, \beta_2]$：
$B = \begin{bmatrix}-1 & 4 \\2 & 1 \\a & 5\end{bmatrix}$
通过行变换化简：

1. 第一行乘以$-1$，得$[1, -4]$
2. 第二行减$2$倍新第一行：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$，得$[0, 9]$
3. 第三行减$a$倍第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - aR_1$，得$[0, 5 + 4a]$
   若$5 + 4a \neq 0$，则秩为$2$；若$5 + 4a = 0$（即$a = -\frac{5}{4}$），则秩为$1$。
   因向量组I的秩为$2$，故向量组II的秩也需为2，即$a \neq -\frac{5}{4}$。

步骤3：合并矩阵求秩

将向量组I和II合并成矩阵$C$：
$C = \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 4 \\2 & 0 & 2 & 1 \\3 & 1 & a & 5\end{bmatrix}$
通过行变换化简：

1. 第二行减$2$倍第一行：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$，得$[0, -2, 4, -7]$
2. 第三行减$3$倍第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$，得$[0, -2, a+3, -7]$
3. 第三行减第二行：$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$，得$[0, 0, a-1, 0]$
   为使合并后的矩阵秩为$2$，需$a - 1 = 0$，解得$a = 1$。