题目
1.方程(x+y)dy-ydx=0的通解为____. A.y=Ce^(x)/(y) B.y=Ce^(y)/(x) C.ye^(y)/(x)=Cx^2 D.ye^(y)/(x)=Cx^2
1.方程$(x+y)dy-ydx=0$的通解为____.
A.$y=Ce^{\frac{x}{y}}$
B.$y=Ce^{\frac{y}{x}}$
C.$ye^{\frac{y}{x}}=Cx^{2}$
D.$ye^{\frac{y}{x}}=Cx^{2}$
A.$y=Ce^{\frac{x}{y}}$
B.$y=Ce^{\frac{y}{x}}$
C.$ye^{\frac{y}{x}}=Cx^{2}$
D.$ye^{\frac{y}{x}}=Cx^{2}$
题目解答
答案
将原方程 $(x + y)dy - ydx = 0$ 重写为 $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 1$。
此为一阶线性微分方程，积分因子为 $\mu(y) = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = \frac{1}{y}$。
两边乘以积分因子得 $\frac{d}{dy} \left( \frac{x}{y} \right) = \frac{1}{y}$，积分得 $\frac{x}{y} = \ln |y| + C$。
解得 $x = y(\ln |y| + C)$，或等价表示 $y = C e^{\frac{x}{y}}$。
**答案：** $\boxed{A}$
解析
本题考查一阶线性微分方程的求解。解题思路是先将给定的方程变形为一阶线性微分方程的标准形式，然后通过积分因子法求解该方程。
- **一：将原方程变形为一阶线性微分方程的标准形式。
- 原方程$(x + y)dy - ydx = 0$，将其变形为$\frac{dx}{dy}$的形式。
- 由$(x + y)dy - ydx = 0$可得$ydx=(x + y)dy$，两边同时除以$ydy$（$y\neq0$），得到$\frac{dx}{dy}=\frac{x + y}{y}$，进一步化简为$\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=1$。
2.技能技能：确定积分因子。 - 对于一阶线性微分方程$\frac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，这里$P(y)=-\frac{1}{y}$，$Q(y)=1$。
- 积分因子$\mu(y)=e^{\int P(y)dy}$，则$\mu(y)=e^{\int -\frac{1}{y}dy}$。
- 根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y|$，可得$\mu(y)=e^{-\ln|y|}$。
- 根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$和$e^{-\ln a}=\frac{1}{a}$，则$\mu(y)=\frac{1}{y}$。
3.技能技能：利用积分因子求解方程。 - 方程$\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=1$两边同时乘以积分因子$\frac{1}{y}$，得到$\frac{1}{y}\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y^2}=\frac{1}{y}$。
- 观察发现左边$\frac{1}{y}\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y^2}$可以写成$\frac{d}{dy}(\frac{x}{y})$，即$\frac{d}{dy}(\frac{x}{y})=\frac{1}{y}$。
4.技能技能：对等式两边进行积分。 - 对$\frac{d}{dy}(\frac{x}{y})=\frac{1}{y}$两边同时积分，$\int\frac{d}{dy}(\frac{x}{y})dy=\int\frac{1}{y}dy$。
- 根据积分的基本性质$\int\frac{d}{dy}(f(y))dy=f(y)+C$，可得$\frac{x}{y}=\ln|y| + C$（$C$为任意常数）。
5.技能技能：求解$x$关于$y$的表达式。 - 由$\frac{x}{y}=\ln|y| + C$，两边同时乘以$y$，得到$x = y(\ln|y| + C)$。
- 进一步变形为$y = C e^{\frac{x}{y}}$（这里$C$为任意常数）。